Encontrar el máximo de esta $\frac{\int_{0}^{\pi}f(x) \, dx}{\int_{0}^{\pi} f(x)\sin x\,dx}$

Question

Pregunta:

Assmue que $\int_0^\pi f(x)\,dx$ $\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx$ es de convergencia,y $f(x)>0,\forall x\in(0,\pi)$ Encontrar este máximo posible para toda la función $f$ $$I=\dfrac{\int_0^\pi f(x)\,dx}{\int_0^\pi f(x)\sin{x}\,dx}$$

mostrar que： $$I\le\dfrac{4}{\pi}?$$

Creo que este problema es muy interesante,Pero no puedo.

Answer 1

Sugerencia: dejar $$f_n(x):= n\chi_{(0,1/n)} + n^{-1}\chi_{[1/n,\pi]}, $$ con $\chi$ denota el indicador (es decir, para cualquier conjunto $E$, $\chi_E=1$ en $E$, $\chi_E=0$ fuera de $E$). Usted obtener $$\int_0^\pi f_n(x)dx = 1+ (\pi-1/n)/n ,$$ mientras que (para $n$) $$\int_0^\pi |f_n(x)\sin x| dx \leq n\int_0^{1/n} x dx + (\pi-1/n)/n ... $$

Answer 2

Similares a los ya publicados contraejemplo: por cada positivo $t$, considere la posibilidad de $$f_t(x)=\min\{t,1/\sin x\},$$ then, when $t\+\infty$, $$\int_0^\pi f_t(x)\mathrm dx\to\int_0^\pi\frac{\mathrm dx}{\sin x}=+\infty,$$ while $$\int_0^\pi f_t(x)\sin(x)\mathrm dx\to\int_0^\pi\mathrm dx=\pi,$$ por lo tanto las relaciones consideradas en la pregunta sin límites.