La comprensión de homomorphism y kernels

Question

Deje $G$ ser un grupo y $\phi$ un Homomorphism

$$ \phi:G\G' $$

Ahora sé que el tamaño del núcleo indica cuántos elementos en $G$ mapa para el mismo elemento en $G'$

No pude encontrar en mi libro, pero he llegado a la conclusión de que el siguiente.

$$ \frac{|G|}{| \:\text{ker} \: \phi \:|} = |G'| $$

Es eso cierto?

Answer 1

Si $G, G^\prime$ finito y $\phi$ es surjective entonces esta es una sencilla consecuencia del Primer Teorema de Isomorfismo, que establece que $G/\ker\phi\cong G^\prime$. El cálculo del índice en el lado izquierdo del Teorema de Lagrange le da exactamente lo que usted tiene.

Si $\phi$ no es surjective, sin embargo, esto no se sostenga. En su lugar, usted debe reemplazar$G^\prime$$\phi(G)$, la imagen de $G$ bajo $\phi$.

Answer 2

Esto está cerca, pero no muy bien. Por ejemplo, si $G^\prime$ es un buen subgrupo de $H$ $\phi$ define un homomorphism $$ \bar\phi:G\H $$ con $\ker\bar\phi=\ker\phi$. El resultado sería entonces implica $$ \lvert G^\prime\rvert=\frac{\lvert G\rvert}{\lvert\ker \phi\rvert}=\frac{\lvert G\rvert}{\lvert\ker\bar\phi\rvert}=\lvert H\rvert $$ lo cual es absurdo, ya $\lvert G^\prime\rvert\neq\lvert H\rvert$ en general.

Para remediar la situación, debemos reemplazar el $G^\prime$ en su ecuación con $\DeclareMathOperator{Im}{Im}\Im\phi$. La fórmula debe ser $$ \frac{\lvert G\rvert}{\lvert\ker\phi\rvert}=\lvert\Im \phi\rvert $$ que es una consecuencia de la primera teorema del isomorfismo para grupos.

Answer 3

Es verdad solamente si $\phi$ es surjective. Aviso que nos podría dejar el $\phi$ ser el trivial homomorphism, el envío de cada elemento de $G$ a la identidad de $G'$. A continuación, $\ker \phi = G$ y se está afirmando que $$\frac{|G|}{|\ker \phi|}=1=|G'|$$ para cada grupo de $G'$. Esto es obviamente falso.

Sin embargo, si $\phi$ es surjective, entonces, claramente, el conjunto de $S_y$ de los puntos de $x\in G$ tal que $\phi(x)=y$ claramente tiene que $|S_y|=|\ker \phi|$, ya que, por cualquier $z\in S_y$, sostiene claramente que $S_y \subseteq z\ker \phi$ y $\ker \phi \subseteq z^{-1} S_y$ donde la multiplicación se toma para ser un coset - esto es, ya que, si $k\in \ker\phi$ $zk\in z\ker\phi$ y $\phi(zk)=\phi(z)\phi(k)$, sólo $y$, ya que el $\phi(z)=y$ $\phi(k)$ es la identidad. Un argumento similar se tiene para la otra expresión.

Por lo tanto, cada elemento de a $y$ $G'$ está asociado al conjunto $S_y$, que tiene un tamaño igual a $|\ker \phi|$. Además, el $S_y$ partición $G$, lo que implica que la suma de sus dimensiones es el tamaño de $G$. Desde allí se $|G'|$ diferentes $S_y$, y cada uno tiene el mismo tamaño que el del núcleo, $$|G'|\cdot |\ker \phi| = |G|.$$

Answer 4

Supongamos que todos los grupos finitos. Observa correctamente que $|\ker (\phi)|=|\phi^{-1}(g)|$, para cualquier $g\in G'$, mientras $g$ es en la imagen de $\phi$, de lo contrario, de curso $|\phi^{-1}(g)|=0$. Así, la conclusión es: $|G'|=|{\rm Im}(\phi)|+|G'-{\rm Im}(\phi)|=\frac{|G|}{|\ker(\phi)|}+|G'-\Im (\phi)|$. Por supuesto, si $\phi$ es surjective, a continuación, el segundo sumando es $0$, y se obtiene la fórmula que usted escribió. Como se observó en otras respuestas, el mismo resultado se sigue fácilmente mediante la invocación de la (primera) teorema de isomorfismo, a pesar de que (tal vez), que es un poco más de matar.