Pruebalo $\frac{bc}{a(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{b(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{c(c-a)(c-b)}=\frac{ab+bc+ca}{abc}$

Question

Demostrar que $$\frac{bc}{a(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{b(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{c(c-a)(c-b)}=\frac{ab+bc+ca}{abc}$$

Para ello he unificado los tres términos en el lado izquierdo con un común denominador y luego se factoriza el numerador (con la ayuda de Wolfram Alpha... como el numerador es un 5º de la orden de la expresión). $$\frac{b²c²(c-b)+c²a²(a-c)+a²b²(b-a)}{abc(a-b)(b-c)(c-a)}=\dots=\frac{(ab+bc+ca)(a-b)(b-c)(c-a)}{abc(a-b)(b-c)(c-a)}$$

Mi pregunta es ¿hay una forma mejor y más fácil camino para conducir desde el lado izquierdo al lado derecho? En realidad, la pregunta original fue para "simplificar" la izquierda sin mostrar el lado derecho. No estoy seguro de si yo podría hacerlo sin Wolfram Alpha. Así que por eso estoy pidiendo una manera más fácil. Lo he pensado, por ejemplo, $$f(x):=(x-a)(x-b)(x-c)$$ $$\text{LHS}=abc\left(\frac1{a^2f'(a)}+\frac1{b^2f'(b)}+\frac1{c^2f'(c)}\right)$$ lo que no ayuda.

Answer 1

Reclamo:

$$\frac{bc}{a(a-b)(a-c)}+\frac{ca}{b(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{c(c-a)(c-b)}=\frac{ab+bc+ca}{abc}$$

Prueba:

Tenga en cuenta que la interpolación de Lagrange polinomio a través de $(a,p),(b,q),(c,r)$ está dada por:

$$f(x)=\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}p+\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}q+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}r$$

Buscamos el valor de $f(0)$ al $p=\dfrac{1}{a},q=\dfrac{1}{b},r=\dfrac{1}{c}$, es decir, cuando se $y=f(x)$ interpola $y=\dfrac{1}{x}$$x=a,b,c$.

Luego nos aviso que $1-xf(x)$ es un grado $3$ polinomio interpolant que pasa a través de $(0,1),(a,0),(b,0),(c,0)$, y de hecho, es el único de tal polinomio.

Por la inspección, se debe tener

$$1-xf(x)=\frac{(x-a)(x-b)(x-c)}{(-a)(-b)(-c)}=\left(1-\frac{x}{a}\right)\left(1-\frac{x}{b}\right)\left(1-\frac{x}{c}\right)$$

La expansión al líder de la orden,

$$1-xf(x)=1-x\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\text{ higher order terms}$$

el cual, después de un momento de reflexión, le da ese $f(0)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ como se desee.

Tenga en cuenta que este método da una generalización natural para cuando tenemos más que sólo $a,b,c$.

Answer 2

Sugerencia: $P(a) = b²c²(c-b)+c²a²(a-c)+a²b²(b-a)$ $3^{rd}$ grado del polinomio en $a$, y ha $a=b$ $a=c$ como obvio raíces, por lo que es divisible por $(a-b)(a-c)$. Por simetría en $a,b,c$ es divisible por $(b-c)$. Dividir sucesivamente por $(a-b),(b-c),(c-a)$ usando el polinomio de la división larga, y se obtiene el cociente $ab+bc+ca$.

Answer 3

Creo que la manera más sencilla es hacer de la fracción parcial de la descomposición en $a$ de cada uno de los términos. I. e. para el primer término de obtener $$ -\frac{b}{(a-c) (b-c)}+\frac{c}{(a-b) (b-c)}+\frac{1}{a} $$ para el segundo $$ -\frac{c}{(a-b) (b-c)}-\frac{c}{b (b-c)} $$ y para el último $$ \frac{b}{(a-c) (b-c)}+\frac{b}{c (b-c)} $$ Así que la mayoría de los términos cancelar y los que se quedan con $$ \frac{1}{a}+\frac{b}{c (b-c)}-\frac{c}{b (b-c)} $$ después de que es más simple ya (se puede hacer la expansión en $b$ después de que para hacerlo aún más sencillo, antes de la unión de las fracciones)

Después de la fracción parcial en $b$ consigue $$ \frac{a+c}{c}+\frac{1}{b} $$

Answer 4

Tenemos que probar que $$ \sum_{cyc}\frac{bc}{a(a-b)(a-c)}=\sum_{cyc}\frac{1}{a} $$ o: $$ \sum_{cyc}\frac{bc-(a-b)(a-c)}{a(a-b)(a-c)} = \sum_{cyc}\frac{b+c-a}{(a-b)(a-c)}=0.$$ Desde $$ 0 = \sum_{cyc}\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a-c}\right)=\sum_{cyc}\frac{2a-b-c}{(a-b)(a-c)} $$ es suficiente para probar que $$ \frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}=0$$ o, al multiplicar ambos lados por $(a-b)(a-c)(b-c)$, $$ a(b-c)-b(a-c)+c(a-b) = 0 $$ que es trivial.