la unidad de dígitos para $3^{100}\cdot 37^{98}$

Question

¿Cuál es la mejor manera de conocer la unidad de dígitos para $3^{100}\cdot 37^{98}$

Answer 1

$$ \begin{align} 37 * 3 & \equiv 1 \text{ (mod 10)}\\ (37 * 3)^n & \equiv 1 \text{ (mod 10)}\\ (37 * 3)^{98} & \equiv 1 \text{ (mod 10)}\\ (37 * 3)^{98} * 3^2 & \equiv 1 * 3^2 \text{ (mod 10)}\\ or, 37^{98} * 3^{100} & \equiv 9 \text{ (mod 10)}\\ \end{align} $$

Answer 2

En primer lugar, encontrar la unidad patrón de dígitos de los números que se multiplican por $3$, a partir de con $3$.

$$ 3, 9, 7, 1, 3, 9, ... $$

Ahora haga lo mismo para $7$

$$ 7, 9, 3, 1, 7, 9, ... $$

Ahora encontrar el $100^{th}$ $98^{th}$ elemento, respectivamente, de cada una de esas secuencias y multiplicar juntos.

Answer 3

Nos necesitan esencialmente $3^{100}\cdot37^{98}\pmod{10}$

$3^4=81\equiv1\pmod{10}$ o

utilizando el teorema de Euler, $3^4\equiv1\pmod{10}$ $\phi(10)=\phi(2)\phi(5)=4$

$\implies 3^{4n}\equiv1$

También, $37\equiv7\pmod{10}\implies 37^{98}\equiv7^{98}\pmod{10}$

De nuevo, el uso de Fermat Poco Teorema $7^4\equiv1\pmod{10}\implies 7^{4n}\equiv1$

Por eso, $3^{100}\cdot37^{98}=(3^4)^{25}\cdot(7^4)^{24}\cdot7^2\equiv1\cdot1\cdot9\pmod{10}$

Answer 4

Sugerencia $\rm\ mod\ 10\!:\,\ 37\equiv 7\equiv 3^{-1}\!\Rightarrow\: 3^{100}37^{98}\!\equiv 3^{100} 3^{-98}\!\equiv 3^2$