Estoy leyendo Reed & Simon, el libro de Análisis Funcional. En el capítulo de localmente convexo espacios que dicen: "considerar el templado de distribución de $\delta'(f)=-f'(0)$, que no viene de una medida". ¿Por qué es eso cierto? He tratado de demostrar que el reclamo pero ha sido infructuoso.
Respuestas
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Anthony Shaw
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El apoyo de la $\delta'$$\{0\}$; para $f$ $0$ en un barrio de $\{0\}$, $\delta'(f)=0$.
Si $\delta'$ fueron descritos por una medida, $\mu$, luego de que la medida también debe ser apoyado en $\{0\}$. Entonces $$ \mu(f)=\int f\,\mathrm{d}\mu\etiqueta{1} $$ y $(1)$ es dependiente sólo del valor de $f$$\{0\}$. Tanto en $1+x$ $1$ son funciones que, en $\{0\}$ tienen el mismo valor, sino $\delta'(1+x)=1$$\delta'(1)=0$.
Zen
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Martin
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De acuerdo a la representación de Riesz teorema, una medida es una funcional lineal continua en el espacio de Fréchet de funciones continuas con soporte compacto. La funcional que tenemos aquí no es aún bien definida en ese espacio.
Una posible objeción es que la definición debe ser considerado en el subespacio de suficientemente regular las funciones y, a continuación, extendido por la densidad. Pero la asignación de $$f\in C^1(\mathbb{R})\to f'(0)$$ is not continuous with respect to the topology of $C(\mathbb{R})$. Por ejemplo, la secuencia de $$f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n}\zeta(x), $$ donde $\zeta$ es un buen corte de la función, es tal que $f_n \to 0$ $C(\mathbb{R})$ (es decir, uniformemente en compactos grupos) sino $f'_n(0)=1$ todos los $n$.
