Bijection entre los reales y el conjunto de las permutaciones de los números naturales?

Question

En el análisis de hoy hemos hablado sobre la re-arreglos de secuencias, y un estudiante le pregunta a la cantidad de re-arreglos no son de una secuencia dada. Hemos sido capaz de crear un uno-a-uno de la función de los reales para el conjunto de las permutaciones en $\mathbb{N}$ simplemente señalar que para cualquier número real, no es un re-arreglo de un condicionalmente convergente la serie que converge a ese número.

Lo que no eran fácilmente capaces de hacer era demostrar que la función fue en, o crear una inyección a partir de las permutaciones en $\mathbb{N}$ a los reales. Así que sabemos que el número de re-arreglos es, al menos, la cardinalidad de los reales, podemos demostrar que es exactamente igual a la cardinalidad de los reales?

Answer 1

Aquí vas a encontrar una prueba de que el infinito de fracciones continuas con $0$ parte entera son precisamente los irrationals en $(0,1)$. El mapa

$$\left(\Bbb Z^+\right)^{\Bbb Z^+}\to(0,1):a\mapsto[0;a_1,a_2,a_3,\dots]$$

es por lo tanto una inyección.

Answer 2

Acabo de hacer esto como un ejercicio en mi introductorio de la Teoría de conjuntos de texto.

Deje $( a_1, a_2, \dots )$ ser una permutación de $\mathbb N$.

Para cada una de las $a_i$, forma una cadena de $(a_i-1)$ ceros seguidos por una $1$. Llamar a esta cadena de $s_i$. Por ejemplo, si $a_i = 5$,$s_i = 00001$.

Definir un mapeo $f : (a_1, a_2, \dots ) \mapsto 0.s_1s_2s_3\dots$ donde $0.s_1s_2\dots$ es la concatenación de las cadenas de $s_i$.

A continuación, $f$ da el deseado de inyección de al $0.s_1s_2\dots$ es leer como el binario de expansión de $x \in [0,1]$. La inyección va la otra forma puede ser obtenida como por su OP.

Edit : ahora que lo pienso, no es necesario ver la imagen como un archivo binario de expansión. Funciona igual de bien como un decimal de expansión.

Answer 3

El número de permutaciones de $\Bbb{N}$ es mayor el número de funciones de$\Bbb N$$\Bbb N$,$\aleph_0^{\aleph_0}$. Pero $\aleph_0^{\aleph_0} \le (2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0}=2^{\aleph_0}$.