He escuchado en clase que no cada haz de fibras se admite una sección. No estoy seguro de por qué esto es cierto, siempre se puede elegir un punto de una fibra y seguir a través de como pegamento local como banalizaciones a continuación, obtener una sección, no es esto correcto?
Respuestas
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Amitesh Datta
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14087
El "punto" (juego de palabras) es que no hay canónicas de identificación entre las fibras en diversos puntos de la base. Así, no es posible simplemente "elegir un punto de una fibra y seguir a través de". En el caso importante de un vector paquete, siempre hay una sección: la sección cero - debido a que el vector cero es canónica. En general, sin embargo, un haz de fibras no puede admitir una sección - por ejemplo, el $\mathbb{Z}/2$-bundle $S^n\to \mathbb{RP}^n$ no admitir una sección. (Por qué?)
Espero que esto ayude!
tariqsheikh
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58
Aquí es un contraejemplo de la topología diferencial.
Tome la base del espacio a las dos dimensiones de la esfera $S^2$. Considerar la tangente bundle $TS^2$, que tiene una sección, por ejemplo, la sección cero. Ahora simplemente quite esa sección: vamos a $A$ ser obtenida a partir de a $TS^2$ quitando el vector cero en cada punto de $S^2$. A continuación, el paquete de $A \mapsto S^2$ no tiene sección: esto es sólo una reafirmación de la "bola peluda" teorema de topología diferencial, que dice que $S^2$ no tiene un valor distinto de cero vector de campo.
mkoeller
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3101
Deje $M$ ser una cinta de Moebius, $C\subset M$ un círculo que pasa por el centro, y considerar el haz de fibras se $M\setminus C \to C$ dado por algunos de proyección.
¿Qué sucede si tratamos de construir una sección en la manera que usted describe? Para cada una de las $c\in C$, tenemos que escoger un punto cualquiera por encima o por debajo de $C$.
Pero como se puede comprobar fácilmente con un poco de papel, $M\setminus C$ está conectado! Así que si nos "seguir a través de", vamos a encontrar que no existe una elección de lado.
Andreas Huber
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2936
Para el general de los haces de fibras que no es cierto ya que las otras respuestas han señalado. Como poner un poco más de estructura en el paquete, a continuación, puede o no ser cierto.
Por ejemplo:
(i) Todos los vectores paquete admite la sección cero.
(ii) Un director paquete admite (global) de la sección si y sólo si es trivial.
Tal vez su maestro había una clase especializada de paquetes en mente cuando dijo eso.
