No triviales homomorphism de $SU(2)$ a la diffeomorphism grupo del círculo

Question

Hay un no trivial homomorphism $f: SU(2) \to \operatorname{Diff}(S^1)$?

(En los comentarios) Por una pregunta anterior, sabemos que no es trivial homomorphism $SU(2) \to O(2)$. Desde $O(2)$ es un subgrupo de $\operatorname{Diff}(S^1)$ (rotaciones son diffeomorphisms), tal vez hay un trivial mapa en el grupo grande.

Answer 1

Teorema. No hay ninguna que no sea trivial homomorphisms $f$ (continua o no) de$SU(2)$$Homeo(S^1)$.

Prueba. Primero de todo, se sabe que $SO(3)=SU(2)/(\pm 1)$ es un grupo simple (como un resumen de grupo); una prueba de esto es un muy buen ejercicio elemental de la teoría y de la geometría. Si no puede demostrarlo, véase, por ejemplo, Berger del libro "Geometría-I", en la sección 8.5. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que cada homomorphism $f$ ha núcleo compuesto más que de el centro de $SU(2)$. Observar que $SU(2)$ contiene el binario Icosaédrica grupo $G$, un trivial $Z_2$-centro de extensión de la la alternancia de grupo $A_5$. Por lo tanto, $f$ define un homomorphism $f: G\to Homeo(S^1)$. Yo reclamo que cada homomorphism ha de ser trivial. Desde $G$ es perfecto, la imagen de $f$ está contenida en la orientación de la preservación de los subgrupos de $Homeo(S^1)$. Ahora, si $g: S^1\to S^1$ es una orientación de la preservación de la no-identidad homeomorphism de orden finito, no puede tener puntos fijos (probar primero que cada finito de orden homeomorphism el intervalo de tiempo tiene que ser el mapa de identidad). Por lo tanto, cada uno de los fieles topológica de la acción de $G$ (o su alternancia de cociente) en $S^1$ tiene que ser de punto fijo libre, por lo tanto, define una cubierta mapa de $S^1\to S^1/f(G)$. Sin embargo, el cociente $Y=S^1/f(G)$ tiene que ser un topológico círculo, por lo tanto, el revestimiento básico de la teoría, $G$ es isomorfo al cociente $\pi_1(Y)/(i_*\pi_1(S^1))$ donde $i_*$ es el monomorphism fundamentales de los grupos inducida por la cobertura de mapa de $S^1\to Y$. Pero este cociente ha de ser cíclica. Una contradicción. qed