¿Cuándo el cierre de una intersección es igual a la intersección de cierres?

Question

Sabemos que $\overline{\bigcap A_{\alpha}}\subseteq\bigcap\overline{A}_{\alpha} $ pero, ¿cuándo se produce la inclusión inversa? ¿Puede dar algunas propiedades del espacio subyacente que garanticen esto?

Answer 1

Esto amplía las respuestas de hardmath y Brian M. Scott, pero responde completamente a la pregunta.

Espacios que satisfacen la condición (aparentemente) más débil de que $\overline{ A \cap B } = \overline{A} \cap \overline{B}$ para todos $A , B \subseteq X$ son discretos.

Si $A \subseteq X$ es un conjunto no cerrado, elija $x \in \overline{A} \setminus A$ . Obsérvese, pues, que $$x \in \overline{ \{ x \} } \cap \overline{A} = \overline{ \{ x \} \cap A } = \overline{ \varnothing } = \varnothing,$$ ¡lo cual es absurdo! Por lo tanto, todos los subconjuntos son cerrados.

Como ha señalado hardmath, todos los espacios discretos satisfacen la condición más fuerte de la OP, por lo que tenemos una equivalencia de las tres nociones.

Dado un espacio topológico $X$ son equivalentes:

1. $\overline{ \bigcap_{i \in I} A_i } = \bigcap_{i \in I} \overline{A_i}$ para todas las familias $\{ A_i \}_{i \in I}$ de subconjuntos de $X$ .
2. $\overline{ A \cap B } = \overline{A} \cap \overline{B}$ para todos $A , B \subseteq X$ .
3. $X$ es discreta.

Answer 2

$\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}$ Hay una gran clase de espacios en los que falla. Sea $X$ sea cualquier espacio con un punto no aislado $p$ tal que la intersección de todos los nbhds de $p$ es $\{p\}$ . Sea $\mathscr{N}$ sea el conjunto de nbhds de $p$ y para cada $N\in\mathscr{N}$ deje $N'=N\setminus\{p\}$ . Entonces

$$\bigcap_{N\in\mathscr{N}}\cl N'\supseteq\{p\}\ne\varnothing=\cl\bigcap_{N\in\mathscr{N}}N'\;.$$

Esta clase incluye todos los $T_1$ espacios. (En caso de que no sea inmediatamente obvio que $p\in\cl N'$ para cada $N\in\mathscr{N}$ Obsérvese que $\mathscr{N}$ es un filtro, y $\{p\}\notin\mathscr{N}$ Así que $N'\cap M\ne\varnothing$ para cada $N,M\in\mathscr{N}$ .)

Answer 3

Es trivial si el espacio subyacente tiene una topología discreta.

En estos casos $\overline{A} = A$ para cualquier subconjunto $A$ del espacio.