Deje que la teoría de conjuntos ZFC, ¿cuál es el dominio de cuantificación de una fórmula parecida a $\forall x\phi(x)$? Si el dominio es el conjunto de la Jerarquía de Von Neumann $V$ por lo que no es un problema que no forma un conjunto?
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DanV
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La teoría de conjuntos no sucede en el vacío. Todavía hay la lógica de primer orden en el meta-nivel (que a menudo es cierta la teoría de conjuntos, o una débil número teórico de la teoría; dependiendo de la filosofía de doblado de que el matemático).
Los cuantificadores son objetos de la meta-teoría, no de $\sf ZFC$. Podemos definir su significado desde el exterior de la teoría de conjuntos.
Lo que podría ser confuso es el hecho de que $\sf ZFC$ "internalizar" la lógica de primer orden, y de interpretarlo como conjuntos y definir lo que es una estructura, y así y así sucesivamente. En cuyo caso, el cuantificador universal se define como un conjunto y se interpreta sólo en una estructura dada.
Pero los cuantificadores en los axiomas de la $\sf ZFC$, o, en general, en el lenguaje de la teoría de conjuntos, no se interna en el universo de la teoría de conjuntos, sino más bien externo y vivir en un universo más grande (en el caso de la meta-teoría es una teoría de conjuntos), o están sintácticas de los objetos (en el caso de la meta-teoría es una teoría de los números). Esas son dos diferentes "planos de existencia".
Mauro ALLEGRANZA
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Usted puede ver Kenneth Kunen, Los Fundamentos de la Matemática (2009), página 16 :
[El contexto es una discusión informal de ] Axioma 1. Extensionality :
$\forall x y [\forall z(z \in x \leftrightarrow z \in y) \rightarrow x = y]$.
Esto nos dice que un conjunto es determinado por sus miembros, de modo que si $x,y$ son dos conjuntos con el mismo número de miembros, $x, y$ son el mismo conjunto. Extensionality también dice algo acerca de nuestra intención de dominio de discurso, o el universo, que normalmente se denomina $V$. Todo en nuestro universo debe ser un conjunto, ya que si permitimos que los objetos de $x, y$ que no son conjuntos, como el de un pato ($D$) y cerdo ($P$), entonces ellos no tienen miembros, de modo que tendríamos
$\forall z[z \in P \leftrightarrow z \in D \leftrightarrow z \in \emptyset \leftrightarrow FALSE]$,
mientras que $P, D, \emptyset$ son todos diferentes objetos. Así, los objetos físicos, tales como $P, D$, no son parte de nuestro universo.
Ahora, de manera informal, a menudo se piensa de conjuntos o colecciones de objetos físicos, tales como $\{ P, D \}$, o un conjunto de patos, o el conjunto de animales en un zoológico. Sin embargo, estos conjuntos no son también en nuestro universo matemático. Recordemos que en la escritura de expresiones lógicas, se entiende que las variables rango de sólo más de nuestro universo, de modo que una afirmación como "$\forall z \ldots $" es una abreviatura de "para todos los $z$ en nuestro universo, $\ldots$". Por lo tanto, si hemos permitido que la $\{ P \}$ $\{ D \}$ en nuestro universo, a continuación, $\forall z(z \in {P} \leftrightarrow z \in {D})$ sería cierto (ya $P, D$ no están en nuestro universo), mientras que $\{ P \} \ne \{ D \}$.
Más generalmente, si $x, y$ (conjuntos) en nuestro universo, entonces todos sus elementos son también en nuestro universo, por lo que la hipótesis de "$\forall z (z \in x \leftrightarrow z \in y)$" realmente significa que $x, y$ son conjuntos con exactamente los mismos miembros, de modo que Extensionality está justificada la conclusión de que $x = y$. Por lo tanto, si $x$ está en nuestro universo, a continuación, $x$ no debe ser sólo un conjunto, pero todos los elementos de a $x$, todos los elementos de los elementos de $x$, etc. debe ser conjuntos.
Véase también, después de la discusión de la Paradoja de Russell [página 18] :
Teorema de 1.6.6. No hay ningún conjunto universal: $\forall z \exists R[R \notin z]$.
Así que, aunque hablamos informalmente sobre el universo, $V$, podemos ver que realmente no hay tal objeto.
Si queremos estudiar los modelos de la $\mathsf {ZFC}$, tenemos que hacerlo en una teoría de la $\mathsf {ZFC}^+$ "más fuerte" de $\mathsf {ZFC}$, es decir, en una teoría capaz de demostrar la existencia de un conjunto $Z$ [que es un objeto de universo de a $\mathsf {ZFC}^+$] "suficientemente grande" para actuar como $V$$\mathsf {ZFC}$, es decir, un conjunto de $\mathsf {ZFC}^+$ contiene todos los objetos necesarios para que satisfacen los axiomas de $\mathsf {ZFC}$.
Niksac
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