Una buena estrategia en estos problemas es el masaje del problema reconocibles límites. (EDIT: me gusta este enfoque principalmente porque evita la expansión de Taylor y la regla de l'Hôpital. Esta es, sin embargo, no es el método más sencillo.)
Se puede "simplificar" dada una función como la siguiente:
$$
\begin{eqnarray*}
\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} - \frac{1}{2}}{x}
&=&
\frac{(2-x)(e^x - 1) - 2x}{2x^2 (e^x - 1)}
\\ &=&
\frac{\color{Blue}{(2-x)}(e^x - 1)- \color{Blue}{(2-x)} \frac{2x}{2-x}}{\color{Red}{2} \ \color{Magenta}{x^2} \color{Green}{(e^x - 1)}}
\\ &=&
\frac{\color{Blue}{2-x}}{\color{Red}{2}} \cdot \frac{\color{Magenta}{x}}{\color{Green}{e^x - 1}} \cdot \frac{e^x - 1 - \frac{2x}{2-x}}{\color{Magenta}{x^3}}. \tag{1}
\end{eqnarray*}
$$
Los dos primeros factores, tanto el enfoque de $1$$x \to 0$. Ahora vamos a concentrarnos en el tercer factor. Por expansión de Taylor (o la fórmula para la suma de una serie geométrica), tenemos (para $|x| < 1$),
$$
\begin{eqnarray*}
\frac{2x}{2-x}
=
\frac{x}{1 - x/2}
&=&
x + x \left(\frac{x}{2} \right) +x \left(\frac{x}{2} \right)^2 + x \left( \frac x 2 \right)^3 + \cdots
\\ &=&
\color{Red}{x + \frac{x^2}{2}} + \color{Blue}{x \left(\frac{x}{2} \right)^2 + x \left( \frac x 2 \right)^3 + \cdots}
\\ &=&
\color{Red}{x + \frac{x^2}{2}} + \color{Blue}{x \left(\frac{x}{2} \right)^2 \frac{1}{1 - \frac x 2}} \quad\quad \text{(summing the GP)}
\\ &=&
\color{Red}{x + \frac{x^2}{2}} \color{Blue}{+\frac{x^3}{2(2-x)}}. \tag{2}
\end{eqnarray*}
$$
(Aunque he utilizado infinito GPs para obtener la expresión final, uno pudo verificar directamente así. En particular, las dos expresiones son iguales para todas las $x \neq 2$, no sólo a $|x| < 1$.) Conectar $(2)$$(1)$, tenemos
$$
\begin{eqnarray*}
\frac{e^x - 1 - \frac{2x}{2-x}}{x^3}
&=&
\frac{e^x - 1 \color{Red}{- x - \frac{x^2}{2}} \color{Blue}{-\frac{x^3}{2(2-x)}}}{x^3}
\\ &=&
\frac{e^x - 1 \color{Red}{- x - \frac{x^2}{2}}}{x^3} \color{Blue}{-\frac{1}{2(2-x)}}
\end{eqnarray*}
$$
Una vez más, el segundo término tiene un fácil límite de $\frac14$. El primer término
$$
\frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}
$$
es también un límite estándar. Este límite puede ser evaluado usando, por ejemplo, la regla de l'Hôpital o el uso de la expansión de Taylor de $e^x$; su valor es $\frac{1}{3!}$. Conectar ambos de estos límites, podemos obtener la respuesta final a ser
$$
\frac{1}{3!} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{12}.
$$
Bono! Si usted desea evitar la expansión de Taylor y la regla de l'Hôpital aún más, voy a hablar de un "elemental" maneras de evaluar los límites, tales como
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \quad\text{y}\quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}
$$
suponiendo que estos límites existe! (Insisto en que esto no es una evidencia completa; sin embargo, me presente porque me parece la técnica interesante.)
Voy a mostrar la idea para el primer límite, y dejar la segunda como un ejercicio. Supongamos $A \stackrel{\text(def)}{=} \lim \limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ existe. A continuación,$e^x = 1 + x + A x^2 + o(x^2)$. Por lo tanto, elevando al cuadrado: $$e^{2x} = (1 + x + A x^2 + o(x^2))^2 = \color{Red}{1} + \color{Blue}{2x} + \color{DarkGreen}{x^2 (1+2A)} + o(x^2) .$$ On the other hand, making the substitution $x \a 2x$ in the definition of the limit, we have $e^{2x} = \color{Red}{1} + \color{Blue}{2x} + \color{verde oscuro}{4A x^2} + o(x^2)$.
Equiparación de la dominante términos que en estas dos expresiones, debemos tener $\color{DarkGreen}{4A} = \color{DarkGreen}{1 + 2A}$, lo que da $A = \frac{1}{2}$.
