¿Existen conjuntos de medida cero y dimensión Hausdorff completa?

Question

Me gustaría preguntar lo siguiente:

¿Hay "muchos" conjuntos, digamos en el intervalo $[0,1]$ con medida de Lebesgue nula pero con dimensión de Hausdorff $1$ ?

La motivación de esta pregunta es la dicotomía entre medida y categoría. Ciertamente hay conjuntos densos con medida de Lebesgue nula. Pero un conjunto denso no tiene por qué tener dimensión de Hausdorff positiva (por ejemplo, los racionales son densos pero tienen dimensión de Hausdorff nula).

Sinceramente, ya estaría satisfecho con una respuesta a la siguiente pregunta:

¿Hay algún conjunto en $[0,1]$ con medida de Lebesgue nula pero con dimensión de Hausdorff $1$ ?

Answer 1

Para cualquier $r<1$ se puede construir un conjunto de Cantor con dimensión Hausdorff $r$ variando las longitudes de los intervalos en la construcción habitual del conjunto de Cantor. En particular, se puede dejar que $C_n\subset[0,1]$ sea un conjunto de Cantor de dimensión Hausdorff $1-1/n$ para cada $n$ . El sindicato $C=\bigcup C_n$ entonces tiene medida de Lebesgue $0$ porque cada $C_n$ lo hace, pero la dimensión de Hausdorff $1$ .

Answer 2

Para un ejemplo "natural", dejemos que $b_1$ y $b_2$ sean enteros positivos $\geq 2$ tal que ninguna potencia entera positiva de $b_1$ es igual a una potencia entera positiva de $b_2$ (es decir $(b_1)^m = (b_2)^n$ no tiene solución cuando $m$ y $n$ son enteros positivos). Kenji Nagasaka demostró en 1979 que el conjunto de números reales normales a base $b_1$ pero no es normal para la base $b_2$ es un conjunto de medida cero con dimensión Hausdorff $1.$ Véase mi post del 5 de julio de 2002 en sci.math Números normales en una base pero no en otra . (Nota: En ese post parece que he invertido las definiciones de multiplicativamente dependiente y multiplicativamente independiente).

En realidad, Nagasaka sólo demostró la dimensión de Hausdorff $1$ parte. La parte de la medida cero se desprende del hecho, conocido desde hace tiempo, de que todos los números reales, excepto un conjunto de medida cero, son normales a toda base.