Cómo expresar una matriz como suma de dos matrices cuadradas cero

Question

Tengo una matriz cuadrada real $M$ que me gustaría expresar como $M=A+B$ tal que $A^2=0$ , $B^2=0$ . $M$ tiene una propiedad adicional que $M^2$ es una matriz escalar : ( $M^2=s^2I$ ); y su dimensión es una potencia de 2 : $dim(M)=2^n,n>0$ ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

En cuanto a lo que tales matrices $M$ pueden ser y en qué dimensiones pueden existir, he aquí una respuesta relativamente completa (pero aún incompleta):

• Si $s=0$ , entonces tales matrices $M$ existen en todas las dimensiones. Se puede tomar $A=M$ y $B=0$ .
• Si $s\neq0$ (esto se asumirá para todas las balas restantes), tal matriz $M$ es diagonalizable y los únicos valores propios posibles son $\pm s$ .
• Si la dimensión $d$ es par, una matriz $M$ con $M^2=s^2I_d$ puede escribirse como $A+B$ con $A^2=B^2=0$ si los valores propios $+s$ y $-s$ tienen la misma multiplicidad. En otras palabras, hasta el cambio de base, es suficiente que $M$ es la matriz diagonal $\operatorname{diag}(s,\dots,s,-s,\dots,-s)$ con igual número de $s$ y $-s$ .
• Una condición necesaria es que ambos $A$ y $B$ tienen el mismo rango $d/2$ pero no está claro si implica que los valores propios $\pm s$ de $M$ tienen multiplicidades iguales.
• Si la dimensión $d$ es impar, no hay tales matrices $M$ existen (a menos que $s=0$ ).

Estos resultados se desprenden de las siguientes observaciones. $\DeclareMathOperator{\rank}{rank}$

Lema: Si una matriz cuadrada $M$ satisface $M^2=s^2I$ para $s\neq0$ entonces $M$ es diagonalizable y los únicos valores propios posibles son $\pm s$ .

Prueba: Las propiedades que buscas son independientes de la base, así que escribe $M$ en su forma normal de Jordania. Entonces cada bloque de Jordan triangular superior $J$ de $M$ tendrá que satisfacer $J^2=s^2I$ . En primer lugar, esto implica que el valor diagonal (valor propio) del bloque es $\pm s$ . En segundo lugar, como no puede haber ninguna entrada no diagonal distinta de cero en $J^2$ y $s\neq0$ los off-diagonales de $J$ debe desaparecer de hecho. Esto significa que $M$ es de hecho diagonalizable. $\square$

Observación: El lema es falso para $s=0$ Por eso lo excluí.

Caso en el que A y B existe: Si los valores propios $+s$ y $-s$ tienen la misma multiplicidad, entonces $s^{-1}M$ es una suma directa (matriz diagonal en bloque) de copias de la matriz $$ N = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} = X+Y, $$ donde las matrices $ X = \frac12 \begin{pmatrix} 1&-1\\ 1&-1 \end{pmatrix} $ y $ Y = \frac12 \begin{pmatrix} 1&1\\ -1&-1 \end{pmatrix} $ tienen un cuadrado cero. Esto da una forma de construir matrices $A$ y $B$ (como $s$ veces una suma directa de las matrices dadas anteriormente).

Detalles de la construcción de $A$ y $B$ : Supongamos que $$ M = s \begin{pmatrix} N&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&N \end{pmatrix}. $$ Cualquier $M$ expresable de la manera deseada es de esta forma después de un cambio de base. Se puede elegir $A$ sea la matriz diagonal de bloques $$ s \begin{pmatrix} X&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&X \end{pmatrix} $$ y $B$ se puede dar de la misma manera utilizando $Y$ en lugar de $X$ . Ahora es evidente que $A^2=B^2=0$ (ya que $X^2=Y^2=0$ ), $A+B=M$ (ya que $X+Y=N$ ), y $M^2=s^2I$ (ya que $N^2=s^2I$ ).

Caso general: Supongamos que $s\neq0$ . Debido al lema, un $d\times d$ matriz $M$ con $M^2=s^2I_d$ puede escribirse en forma de bloque $$ M = s \begin{pmatrix} I_a&0\\ 0&-I_b \end{pmatrix} $$ con $a+b=d$ . Si $a=b$ podemos construir las matrices $A$ y $B$ como en el caso anterior. Tal $A$ y $B$ no existen si $a\neq b$ como veremos a continuación.

Observaciones con rango: De la desigualdad de rango de Sylvester se deduce que si a $d\times d$ matriz $A$ tiene un cuadrado cero, entonces $\rank(A)\leq d/2$ . La desigualdad es estricta si $d$ es impar. También, $\rank(M)=\rank(A+B)\leq\rank(A)+\rank(B)$ . Por lo tanto, a menos que ambos $A$ y $B$ tienen rango $d/2$ , $M$ no puede tener el rango completo $d$ . Si $s\neq0$ la condición $M^2=s^2I_d$ requiere que $M$ tiene el rango completo.

Answer 2

Toma $$ A=\begin{pmatrix} 1 & -r^{-1}\cr r & -1 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 1 & -s^{-1}\cr s & -1 \end{pmatrix} $$ para los casos en los que el valor es distinto de cero $r,s$ y $M=A+B$ . Entonces $A^2=B^2=0$ y $$ M^2=(A+B)^2=\frac{-r^2+2rs-s^2}{rs}I $$

Answer 3

Esto siempre se puede hacer para $M$ de tamaño uniforme $2n$ es decir $M$ es un $2n \times 2n$ matriz.

Set

$P = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \tag{1}$

donde $I_n$ es el $n \times n$ matriz de identidad. Entonces

$P^2 = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & I_n \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0; \tag{2}$

también tomar

$Q = P^T = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I_n & 0 \end{bmatrix}; \tag{3}$

entonces

$Q^2 = (P^T)^2 = P^TP^T = (PP)^T = (P^2)^T = 0 \tag{4}$

también. Entonces

$P + Q = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ I_n & 0 \end{bmatrix}, \tag{5}$

y

$(P + Q)^2 = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ I_n & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ I_n & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_n & 0\\ 0 & I_n \end{bmatrix} = I_{2n}, \tag{7}$

por lo que el ajuste

$A = sP, \tag{8}$

$B = sQ, \tag{9}$

encontramos

$(A + B)^2 = s^2(P + Q)^2 = s^2 I_{2n} = M. \tag{10}$

También hay que tener en cuenta:

$(P + Q)^2 = P^2 + PQ + QP + Q^2 = PQ + QP; \tag{11}$

$PQ = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I_n & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_n & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \tag{12}$

e igualmente

$QP = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_n \end{bmatrix}. \tag{12}$

Observación: No estoy seguro de que haya una solución para $M$ de impar tamaño.

Answer 4

Otra clase de soluciones: $A = \left[\begin{matrix}0 &sI \\ 0& 0\end{matrix}\right]$ , $B = \left[\begin{matrix}0&0\\sI &0\end{matrix}\right]$ .