Prueba de Álgebra Lineal $AB=0 \Longrightarrow \det(A)=0$

Question

Dos matrices cuadradas $ A $ y $ B $, con $ B \neq 0 $, dan $ AB = 0 $. Demuestra que $ \ det (A) = 0 $.

Después de probar con algunos ejemplos, creo que $ A $ necesita tener líneas que sean iguales o que puedan hacerse iguales mediante multiplicación escalar, B necesita tener columnas que sean iguales o que puedan hacerse iguales mediante multiplicación escalar, como $$ A = \begin{bmatrix} 1 y 2 \\ 2 y 4 \\ \end{bmatrix} $$ y $$ B = \begin{bmatrix} 2 y 4 \\ -1 y -2 \\ \end{bmatrix} $$

lo que significaría que $ \ det (A) = 0 $ y $ \ det (B) = 0 $. Pero esto está lejos de ser una prueba de nada. ¿Estoy en el camino correcto? ¿Cuál sería mi próximo paso?

Answer 1

Por contradicción: supongamos que $\det A \ne 0$, entonces $A$ es invertible y, al multiplicar a la izquierda $AB=0$ por $A^{-1}$, tenemos: $$ A^{-1}(AB)=A^{-1}\cdot 0 \iff (A^{-1}A)B=0 \iff I B= 0 \iff B=0 $$

Answer 2

Si $AB=0$ entonces $Ab_i=0$ $\forall 1\leq i\leq n$ (donde $b_i$ denota la i-ésima columna de B). Sea $b_j$ cualquier columna no nula de B entonces tenemos: $Ab_j=0$ lo cual significa que $b_j$ es un autovector de A con valor propio correspondiente 0. Dado que 0 es un valor propio de A entonces $det(A)=0$