Demuestre que si $\sum\limits_nnE|X_{n}|^2$ converge para una media cero no correlacionada $X_n$ s, entonces $\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$ converge casi con seguridad

Question

Dejemos que ( $X_n$ ) sea una secuencia de variables aleatorias no correlacionadas de media cero tal que $$\sum_{n=1}^{\infty}nE|X_{n}|^2 < \infty $$ Demuestra que $S_n = \sum_{i=1}^{n}X_i$ converge casi con seguridad.

Este es el segundo problema de S.-T. Yau College, de los concursos de matemáticas de 2014.

Intenté resolver el problema utilizando una desigualdad similar a la de Kolmogorov, pero cómo utilizar el coeficiente de $n$ antes de $E|X_n|^2$ me confunde.

Answer 1

Dado que las variables aleatorias no están correlacionadas y tienen media $0$ sostiene que

$$\mathbb{E}(X_i X_j) = 0$$

para todos $i \neq j$ . Esto implica

$$\mathbb{E}((S_n-S_m)^2) = \sum_{i=m+1}^n \sum_{j=m+1}^n \mathbb{E}(X_i X_j) = \sum_{i=m+1}^n \mathbb{E}(X_i^2)$$

para todos $n \geq m$ y por lo tanto $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es un $L^2$ -Cauchy-secuencia, por lo tanto convergente, es decir $S_n \to X$ en $L^2$ para alguna variable aleatoria $X \in L^2$ . Usando eso

$$\mathbb{E}((S_n-X)^2) = \sum_{i=n+1}^{\infty} \mathbb{E}(X_i^2)$$

encontramos por la desigualdad de Markov para cualquier $\epsilon>0$

$$\begin{align*} \sum_{n \geq 1} \mathbb{P}(|S_n-X| \geq \epsilon) &\leq \frac{1}{\epsilon^2} \sum_{n \geq 1} \mathbb{E}((S_n-X)^2) \\ &= \frac{1}{\epsilon^2} \sum_{n \geq 1} \sum_{i=n+1}^{\infty} \mathbb{E}(X_i^2) \\ &= \frac{1}{\epsilon^2} \sum_{i \geq 1} i \mathbb{E}(X_i^2) < \infty. \end{align*}$$

Aplicando el lema de Borel-Cantelli concluimos que $S_n \to X$ casi seguro.

Observación: Dejemos que $(Y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sea una secuencia de variables aleatorias tal que $Y_n \to Y$ en probabilidad (que se satisface, en particular, en $Y_n \to Y$ en $L^2$ ). Es bien sabido que esto, en general, no implica $Y_n \to Y$ casi seguro. Sin embargo, si las probabilidades $\mathbb{P}(|Y_n-Y|>\epsilon)$ están decayendo lo suficientemente rápido como $n \to \infty$ en el sentido de que

$$\sum_{n \geq 1} \mathbb{P}(|Y_n-Y| >\epsilon ) <\infty$$

para todos $\epsilon>0$ entonces $Y_n \to Y$ casi seguro. Eso es exactamente lo que hemos utilizado en la prueba anterior.