¿Son todas las pruebas de existencia por contradicción?

Question

¿Todas las pruebas de existencia proceden de forma indirecta (también llamadas "por contradicción", "reductio ad absurdum", etc.)?

Por ejemplo, ¿podemos demostrar directamente que en un campo el elemento identidad aditivo y el elemento identidad multiplicativo son distintos? No he encontrado ninguna prueba para esto que proceda directamente.

Así que estoy buscando algún lema de existencia similar que pueda dar pistas por analogía?

Si estoy en un error (la prueba directa es imposible), por favor explique o pruebe esto.

Gracias.

Answer 1

A partir de los demás axiomas de campo (conmutatividad, asociatividad, etc.) no se puede demostrar que la identidad aditiva y la multiplicativa sean distintas. Por eso se incluye (aunque a veces se pasa por alto) como axioma de campo.

Para demostrar que no se puede probar que $0_{\text{Field}} \ne 1_{\text{Field}}$ todo lo que tienes que hacer es dar una estructura que satisfaga todos los axiomas de campo excepto $0 = 1$ . Un ejemplo (el único) es el dominio con un solo elemento, y la suma y la multiplicación se definen como funciones de identidad. Es un ejercicio bastante simple para demostrar que tal estructura satisface todos los axiomas de campo excepto $0 \ne 1$ .

Por cierto, también puedes sustituir $0 \ne 1$ entre los axiomas de campo con "el dominio del campo contiene al menos 2 valores".

Answer 2

La prueba estándar de la unicidad es directa.

Dejemos que $a$ sea una identidad aditiva, y $b$ sea una identidad. Como $a = a + b = b$ , $a = b$ .

Obsérvese que decimos nada sobre si $a$ y $b$ son distintos, por lo que no tenemos que contradecir ninguna suposición. Simplemente derivamos que son iguales, y eso es todo lo que queríamos. Lo mismo ocurre con la identidad multiplicativa.

EDIT: Se me acaba de ocurrir, que puede que estés haciendo una pregunta diferente, si $0 \ne 1$ . Esto se suele aceptar como parte de la definición de un campo.