Álgebra lineal pregunta relacionada con la principal submatrices

Question

Vamos $A$ $\in$ $M_n (C)$. Para cada una de las $1 \leq i \leq n$, vamos a $A_i$ $(n-1)\times(n-1)$ submatriz principal de a $A$ resultante de la eliminación de la $i^\text{th}$ fila y $i^\text{th}$ columna. Demostrar que para $1 \leq k \leq n-1$, $\sum\limits_{i=1}^n E_{k}(A_{i}) = (n-k)E_{k}(A)$.

EDIT: La notación es consistente con Cuerno y Johnson Análisis de la Matriz de libro. En la página 40, se dice que hay $\binom{n}{k}$ k diferentes-por-k director de menores de la matriz $A=[a_{ij}]$, y la suma de estos es denotado por $E_{k}(A)$

He estado probando diferentes fórmulas que implican la traza y el determinante, pero creo que me falta un poco de perspicacia en esta pregunta. Cualquier ayuda será apreciada, gracias.

Answer 1

Deje $A_I = A_{\{i_1, \ldots, i_k\}}$ ser el principal submatriz formada por las filas/columnas indexadas por $I = \{i_1, \ldots, i_k\}$. Si $S$ es el conjunto de todos los indexsets $I$ del tamaño de la $k$, entonces obviamente ambos lados de la ecuación puede ser escrita como $\sum_{I \in S} \lambda_{I} A_I$ para algunos de los números naturales $\lambda_I$, como el conjunto de los principales submatrices de a $A_i$ es un subconjunto del conjunto de los principales submatrices de a $A$. Tan sólo tenemos que demostrar que el coeficiente es igual en ambos lados, es decir, cada matriz $A_I$ son contados en ambos lados como muchas veces.

Ahora, cuando no $A_I$ cuentan en la suma en el lado izquierdo? Entonces tenemos que $i \notin I$, es decir,$i \in \{1, \ldots, n\} \setminus I$, que se produce a $n - k$ veces. En el lado derecho de la matriz $A_I$ se cuenta una vez, pero multiplicado por $n - k$. De modo que los coeficientes son los mismos.