Pregunta acerca de la naturaleza de los sistemas de coordenadas

Question

Yo realmente no podía pensar en una buena línea de título para mi pregunta, así que voy a intentar elaborar.

De lo que tengo reunidos a lo largo de mis años, si desea localizar un punto arbitrario en un n-dimensional espacio de coordenadas, se necesitan al menos n coordenadas. Este era el tipo de implícita en mi clase de Álgebra Lineal acerca de coordenadas lineales, creo ... pero en cierto modo me sentía que había una mayor implicación de que este requisito se aplica a todos los tipos de sistemas de coordenadas, incluyendo ángulo como coordenadas Polares.

Por ejemplo, si quería describir un punto 3D, puedo elegir cualquier sistema de coordenadas que yo quiero, pero que el sistema de coordenadas debe requerir al menos 3 puntos para ser capaz de identificar de forma única a mi punto. Por eso cartesiano $(x,y,z)$, cilíndrico $(r,\theta,z)$, y las coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$ trabajo, así como un sistema de coordenadas depender de una combinación lineal de tres vectores linealmente independientes (cartesiano ser un caso especial de este, donde los tres vectores son ortogonales de la unidad de vectores). Además, si una combinación lineal de coordenadas del sistema requiere de cuatro o más coordenadas, pero sólo describe los puntos en un espacio 3D, que sistema de coordenadas tiene despidos y puede ser reducido a sólo necesitan tres coordenadas.

Entonces me fue enseñado, en la Física, que un punto en el espacio 3D era una entidad abstracta, y que el sistema de coordenadas es irrelevante a la naturaleza de la punto-de describir, todo lo que necesitaba era eligió un conjunto de bases. Bases -- como hay tres de ellos.

En cierto modo me llevó a esta generalización a otros espacios además de la n-dimensional número real de espacio. Por ejemplo, los humanos, espacio de color, pensé, tiene 3 dimensiones, y es por eso que todos los actuales sistemas de color (RGB, HSV, HSL, la varía CIE de percepción de los espacios de color) requieren tres coordenadas, y usted no puede describir todos los colores con sólo dos coordenadas, y un sistema de coordenadas con cuatro coordenadas es redundante.

Además, no es el espacio de todos los posibles rectángulos. Un rectángulo puede ser el único descrito por su altura y anchura, pero hay muchas otras formas, todas las cuales requieren al menos dos números.

Y todos los "redundante" sistemas puede ser reducido a un no-redundante uno (similar a como vectores que no son linealmente independientes puede ser reducido a un conjunto de vectores linealmente independientes que se pueden combinar para formar el original)

Gracias si usted todavía está leyendo en este momento; sé que eso era un poco largo aliento. Tengo dos preguntas, que están de alguna manera relacionados.

1. Es a lo que me refiero, verdad? Hice demasiadas vastas generalizaciones? Lo que está mal acerca de esta línea de pensamiento, si nada? Estoy seguro de que he hecho demasiados saltos en algún lugar.

2. Una cosa que ha sido preocupante para mí, es la "trilateración" "sistema de coordenadas" que se utiliza para encontrar los puntos en un plano 2D. Sistema de coordenadas se define como: Hay tres puntos de referencia en ubicaciones arbitrarias en el avión. Las coordenadas se da como $(r_1,r_2,r_3)$ donde $r_n$ es la distancia del punto dado de la $n$th punto de anclaje.

   Esto me molesta porque para localizar un 2D punto el uso de este sistema de coordenadas, se necesitan tres coordenadas. En caso de no ser que, debido a que este es un plano 2D, sólo se necesitan dos coordenadas? Cómo se hace algo como esto existe? Lo que hace es fundamentalmente diferente de los otros sistemas de coordenadas/espacios que he mencionado anteriormente? (Cartesianas, polares, espacio de color, rectángulos, etc.)

Answer 1

Buena pregunta! Sólo lo es en tres dimensiones sobre un espacio tridimensional, y por qué son tres coordenadas necesarias para localizar un punto en ella? Se podría localizar uno con dos coordenadas, o sólo uno?

Resulta que es posible localizar un punto en un espacio tridimensional con una sola coordenada, pero de cualquier manera de hacer que esto va a tener algunos problemas con él. Una manera simple de hacer esto es mediante la adopción de los dígitos y el intercalado de ellos. Si hay un punto en el $(1.2345, 2.2222, 5.5555)$, podemos poner todos estos números juntos en un solo número, como $125.225325435525$. Este número se puede volver a la original de tres coordenadas, por lo que podemos decir que es una sola-coordinar la representación del punto. Digamos que $f(x,y,z)$ es la interpolación de los números $x$, $y$ y $z$.

Un problema con este método es que a veces, un número real tiene dos diferentes expansiones decimales. Específicamente, si un número tiene un decimal finito de expansión, también tiene una expansión decimal que termina en nueves para siempre: $1.25$ es el mismo número de $1.24999\ldots$, pero se escriben de forma diferente. Podemos evitar esto, en cierta medida, por insistir en el uso de la decimal finito expansiones de $x$, $y$ y $z$, en lugar de los nueves, siempre decimal de expansión.

Sin embargo, incluso después de "arreglar" el método de esa manera, todavía tiene un problema importante: no es continua. Supongamos que tomamos el punto de $(1, 1, 1)$ y cambiar el $z$-coordinar un poco. El nuevo $f$ coordinar, en lugar de cambiar un poco, va a saltar entre las $111$$110.009009009\ldots$. Eso no es una propiedad que nos gusta; las coordenadas del punto que se debe cambiar suavemente cuando el punto sin cambios. La función no es continua.

Lo que si tratamos de hacer que la función de $f(x,y,z)$ continua? La única manera de hacer esto es por lo que es algo como $f(x,y,z) = x + y + z$. Pero ahora esto es aún peor: los puntos (1, 2, 2) y (2, 0, 3) estarían representados por las coordenadas 5. Esta función no es inyectiva.

Y así hay una llave de la propiedad que hace que un espacio tridimensional tridimensional: aunque no es una función de tomar los puntos en el espacio tridimensional y la devolución de los puntos de un plano o una línea, no hay tal función es continua e inyectiva. Este es un resultado de la topología, el estudio de la continuidad y de otros conceptos relacionados.

En cuanto a tu otra pregunta, no te puedo dar una buena razón por la que la trilateración sistema de coordenadas requiere de tres coordenadas para identificar un punto en el plano, además de que no es un gran sistema de coordenadas! Hay muchos otros sistemas que requieren de tres coordenadas para identificar un punto en un plano: por ejemplo, podríamos decir que las coordenadas del punto son el valor absoluto de su $x$-coordenadas, el valor absoluto de su $y$-coordinar, y su ángulo de alrededor del origen. Lo único (que yo sepa) que los sistemas de coordenadas como estos tienen en común es que ellos representan puntos de manera ineficiente.

Usted siempre puede representar un punto en el plano con dos coordenadas, mediante el uso de un sistema de coordenadas como el Cartesiano. El hecho de que es posible hacer un "mal trabajo", y crear un sistema de coordenadas que requiere coordenadas, no es tan importante.

Answer 2

Usted reflexiones parecen ser válida y coherente.

Creo que el concepto que el aferramiento es que de un (diferenciable) colector, que es ... muy groso! -- topológico, espacio que viene con una selección de resumen los sistemas de coordenadas, de tal manera que cada sistema de coordenadas local se aproxima a un sistema lineal de sistema de coordenadas en una lo suficientemente pequeña vecindad de cada punto se puede describir. En los supuestos a continuación, puede ser demostrado que todos estos sistemas de coordenadas debe tener la misma dimensión.

El problema con la trilateración es que las coordenadas no son libres -- la mayoría de los arbitraria ternas de números no define ningún punto en absoluto, de modo que el sistema en realidad no funcionan como coordenadas son generalmente supone. Es más de un (distorsionada) la incrustación de la superficie en $\mathbb R^3$ que es un sistema de coordenadas.