Determinantes y $2\times 2$ menores de edad

Question

Me lo acaba de probar que

$$0=\left|\begin{array}{cccc} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \\ a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \end{array}\right|=2(\Delta_{01}\Delta_{23}-\Delta_{02}\Delta_{13}+\Delta_{03}\Delta_{12})$$ donde $$\Delta_{ij}=\left|\begin{array}{cc} a_i & a_j \\ b_i & b_j \end{array}\right|$$ Es allí cualquier manera de expresarse de la siguiente determinante de una manera similar? Que es, hay alguna manera de expandir el siguiente determinante como una suma de productos de los menores de orden $2\times 2$ de la forma $\Delta_{ij}$?

$$0=\left|\begin{array}{cccc} a_0 & a_1 & \cdots & a_n \\ b_0 & b_1 & \cdots & b_n \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_0 & a_1 & \cdots & a_n \\ b_0 & b_1 & \cdots & b_n \end{array}\right|$$ (por supuesto, uno debe tomar en cuenta la paridad de $n$). Necesito a fin de encontrar el conjunto de ceros que define un algebraicas proyectivas de la variedad.

Answer 1

Lo siento, ahora me doy cuenta de que he cambiado la notación de modo que mi índices de ejecución $1$ $n$e no $0$$n$.

Lo que usted ha escrito es esencialmente la de Laplace, la expansión de la matriz mediante la utilización de $2\times 2$ a los menores de las dos filas superiores contra el complemento de $(n-2)\times (n-2)$ menores de edad. Con $n=4$ y su simetría se derrumba la forma en que dicen.

Si $n=2k$ podemos ampliar por los menores de las dos primeras filas en contra de sus complementos y, a continuación, repita el proceso. Creo que tenemos la más horrible

$$ \sum\epsilon(i_1,j_1,\dots,i_k,j_k)\ \Delta_{i_1,j_1}\cdot\Delta_{i_2,j_2}\cdot\dots\cdot\Delta_{i_k,j_k} $$ donde la suma es sobre todos los $$\begin{align} i_1&<j_1\\ i_2&<j_2 \ \text{and}\ i_2,j_2\in\{1,\dots,2k\}\setminus\{i_1,j_1\}\\ i_3&<j_3 \ \text{and}\ i_3,j_3\in\{1,\dots,2k\}\setminus\{i_1,j_1, i_2,j_2\}\\ \text{and so on} \end{align} $$ y $\epsilon(i_1,j_1,\dots,i_k,j_k)$ es el signo de la permutación.

De hecho, los distintos términos que cada uno suba $k!$ veces pero para escribir esto que iba a necesitar mucho mejor la notación.