mostrar que $\frac{a^2+b^2+c^2}{15}$ no es cuadrado entero

Question

Deje $a,b,c$ ser distinto de cero enteros. Mostrar que

$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{15}$ no es un cuadrado perfecto para todos los $a,b,c$

Mi planteamiento es el siguiente:

Suponga que existe un entero $d$ tal que $$a^2+b^2+c^2=15d^2$$ De ello se sigue que $$a^2+b^2+c^2=15d^2\equiv -d^2\pmod 8\Longrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\equiv 0\pmod 8$$ Bien y ahora estoy atascado y no sé cómo proceder

Answer 1

Usted está casi allí. Ahora tenga en cuenta que todos los cuadrados son $0,1$ o $4 \pmod 8$, lo $a,b,c,d$ debe ser porque si uno es extraño que no suma cero. Dada una solución con $a,b,c,d$, incluso, se puede dividir a todos ellos por $2$ y tener una nueva solución. Infinito descenso. Por supuesto, usted necesita para excluir $a=b=c=d=0$