Puede $A, B$ no conmutan si $e^A=e^B=e^{A+B}=id$?

Question

Considere la posibilidad de que el real $n \times n$-matrices $A$$B$.

Puede $A, B$ no conmutan si $e^A=e^B=e^{A+B}=id$ ?

Answer 1

Sí, $A$ $B$ puede fallar para viajar. Considere la posibilidad de $$ A = \left[\begin{array}{@{}rrr@{}} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right],\qquad B = \left[\begin{array}{@{}ccc@{}} 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \tfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 0 \end{array}\right], $$ así que $$ A + B = \left[\begin{array}{@{}ccc@{}} 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2} \\ -\tfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 0 \end{array}\right]. $$ Ya que cada uno de $A$, $B$, y $A + B$ ha Frobenius norma igual a $\sqrt{2}$, tenemos $$ \exp(2\pi) = \exp(2\pi B) = \exp\bigl(2\pi (a + B)\bigr) = I. $$ Sin embargo, es fácil comprobar $AB$ no es simétrico, por lo que $$ BA = (-B^{T})(-A^{T}) = B^{T}^{T} = (AB)^{T} \neq AB. $$ De ello se sigue, por supuesto, que $2\pi A$ $2\pi B$ no conmutan.

Answer 2

Esto es incorrecto. Si $e^{A+B}=I$,$A+B=2n\pi i$, para todos los $n\in\mathbf{Z}$, es decir, $2n\pi i-A=B$. Considere la posibilidad de $[A,B]=AB-BA=A(2n\pi i-A)-(2n\pi i-A)A=-AA+AA=0$. Por lo tanto, si $e^{A+B}=I$, $A$ $B$ viaje.