J. Nečas no fue el primero en establecer esta desigualdad
en el caso especial $k=1$. Cinco años antes, Lamberto Cattabriga, asistido por Giovanni Prodi, resultó ser un equivalente de la desigualdad
$$
\|u\|_{0,p}\leqslant C\Bigl(\Bigl|\int\limits_{\Omega}u\,dx\Bigr|
+\sum\limits_{j=1}^d\|\partial_j u\|_{-1,p}\Bigr) \etiqueta{$\ast$}
$$
para un delimitada liso $\,\Omega\,$, en el artículo "de la Ub un problema al contorno relativo al sistema di equazioni di Stokes" en Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, 31(1961), pág. 308-340 (ver pág. 312-313 en el mismo). La desigualdad de $(\ast)$, que se conoce como una generalización de la desigualdad de Poincaré, puede encontrarse junto con sus pruebas detalladas en el G. P. Galdi fundamentales de la monografía http://bookza.org/book/1224993/332308 (véase el Ejercicio III.3.4 en la página. 175 y Ejercicio III.3.10 en la página. 191 de la misma). Para delimitada $\,\Omega\,$ la satisfacción de la condición de cono, Galdi planteamiento del caso $\,k=1$,$\,1<p<\infty\,$ se basa en la aplicación de la Bogovskii representación explícita de la fórmula por el derecho a la inversa de la divergencia operador homogénea límite de datos en $\,\partial\Omega$, siendo el medico adjunto del operador gradiente $\,\nabla\,\colon L^p(\Omega)\to W^{-1,p}(\Omega)\,$ cuyo intervalo es cerrado en $W^{-1,p}(\Omega)\,$ iff la desigualdad $\,(\ast)\,$ mantiene para todos los $\,u\in L^p(\Omega)\,$ con algunas constantes $\,C>0\,$ independiente de $u$.
Un relativamente trivial caso de $\,\Omega=\mathbb{R}^d\,$ es fácilmente resuelto mediante el empleo de
el llamado de Bessel potenciales a lo largo de con $L^p$-estimaciones de la transformada de Fourier
los multiplicadores. Es decir, vamos a
$$
\widehat{f}(\xi)=F[f]\desbordado{\rm def}{=}\int\limits_{\mathbb{R}^d}
f(x)e^{-i(\xi,x)}dx.
$$
Por definición, para cualquier entero $m\in\mathbb{Z}$, el espacio
$$
W^{m,p}(\mathbb{R}^d)=\{w\in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)\,\colon
F^{-1}\bigl[(1+|\xi|^2)^{m/2}\widehat{w}(\xi)\bigr]\en L^p(\mathbb{R}^d)\}
$$
con la norma
$$
\|w\|_{m,p}=\bigl\|F^{-1}\bigl[(1+|\xi|^2)^{m/2}
\widehat{w}(\xi)\bigr]\bigr\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}\,,\quad -
\infty<m<+\infty,\;1<p<\infty,
$$
es el espacio de Bessel potenciales
$$
w(x)=B_m f\desbordado{\rm def}{=}F^{-1}\bigl[(1+|\xi|^2)^{-m/2}\widehat{f}(\xi)\bigr]
$$
de todas las funciones $f\in L^p(\mathbb{R}^d)$. Por supuesto, los operadores de $B_m$ será potenciales en un sentido directo si sólo $m\geqslant 0$. Al $\,m<0\,$, las potencialidades $\,B_m\,$ han de ser tratados como pseudo-operadores diferenciales de orden "$-m$". La Bessel potenciales espacio de $W^{m,p}(\mathbb{R}^d)$ coincide con el habitual espacio de Sobolev $W^{m,p}(\mathbb{R}^d)$ para cualquier entero $m\geqslant 1$, y con
$L^p(\mathbb{R}^d)\,$ al $m=0$. Para cualquier entero $k\geqslant 1$ y el exponente conjugado de $p'=p/(p-1)$, $\,1<p<\infty$, el dual del espacio de Sobolev $W^{k,p'}(\mathbb{R}^d)$ se identifica con el de Bessel potenciales de espacio
$W^{-k,p}(\mathbb{R}^d)$.
Está claro que el espacio de Schwartz $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ será un subespacio denso en $W^{-k,p}(\mathbb{R}^d)$ para todo entero$k\geqslant 1$$\,1<p<\infty$. Por lo tanto,
para demostrar el lema en cuestión no sólo es suficiente para establecer la desigualdad
$$
\|w\|_{-k+1,p}\leqslant \|w\|_{-k,p}+C\!\sum\limits_{j=1}^d
\|\partial_j w\|_{-k,p}\quad \forall\,w\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)
\etiqueta{$\ast\ast$}
$$
con algunas constantes $C>0$, dependiendo únicamente de la $k,d,p$. Observe que
\begin{align*}
(1+|\xi|^2)^{(-k+1)/2}=(1+|\xi|^2)^{-k/2}+(1+|\xi|^2)^{-k/2}\bigl[(1+|\xi|^2)^{1/2}-1\bigl]\\
=(1+|\xi|^2)^{-k/2}+(1+|\xi|^2)^{-k/2}\frac{|\xi|^2}
{1+\sqrt{1+|\xi|^2}}
\end{align*}
de donde sigue
$$
(1+|\xi|^2)^{(k+1)/2}\widehat{w}(\xi)
=(1+|\xi|^2)^{-k/2}\widehat{w}(\xi)-(1+|\xi|^2)^{-k/2}
\sum\limits_{j=1}^d m_j(\xi)F\bigl[{\partial_j}w\bigr]
$$
con las funciones de
$$
m_j(\xi)\desbordado{\rm def}{=}\frac{i\xi_j}{1+\sqrt{1+|\xi|^2}}\,,\quad j=1,\dots,d,
$$
satisfacer la condición de
$$
\sup_{\xi\in\mathbb{R}^d}|\xi^{\alpha}\partial^{\alpha}_{\xi}m_j(\xi)|<\infty\,,\quad j=1,\dots,d,
$$
para todos los multi-índices de $\alpha$ tal que $|\alpha|\leqslant 1+d/2$, lo cual es suficiente para $m_j$
para ser la transformada de Fourier $L^p(\mathbb{R}^d)$-multiplicadores, es decir,
$$
\|F^{-1}[m_j\widehat{\varphi}]\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}\leqslant
C_0\|\varphi\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}
\quad \forall\,\varphi\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d),\;j=1,\dots,d,
$$
con algunas constantes $C_0>0$, dependiendo únicamente de la $k,d,p$.
Por definición de la norma en $W^{-k,p}(\mathbb{R}^d)$ ahora sigue a $(\ast\ast)$,
y de ahí el lema 2.6.
