¿Qué sucede si debo definir un conjunto $A=\{a|\forall x\in \emptyset\ H(x,a) \}$ donde $H$ es de alguna propiedad ? $\forall x\in \emptyset\ H(x,y)$ debe ser siempre cierto, ya que es vacuously verdad, ¿cierto? Así que este conjunto de $A$ no existe, o que sería "el conjunto de todos los conjuntos".
Respuestas
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Es por eso que el uso de alguna propiedad $P(a)$ (en el caso de $P(a)=(\forall x\in\emptyset)H(x,a)$) podemos construir un conjunto único de algún juego que ya ha sido construido.
I. e., usted puede construir el conjunto $\{a\in B; P(a)\}$ donde $B$ es de alguna serie dada. (Este es el enfoque de la teoría de conjuntos ingenua, si has aprendido algo acerca de la teoría de conjuntos axiomática, este es formulado en el Axioma de separación.
Esto se explicó brevemente en el artículo de la wikipedia en conjunto-el generador de la notación.
DanV
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(para complementar un poco en Martin de la respuesta con respecto a conjuntos arbitrarios con respecto a ZFC)
El enfoque moderno es que $\{a\mid P(a)\}$, para algunos la propiedad $P$, es una clase. Esta clase puede o puede no ser un conjunto. La principal diferencia es que los juegos pueden ser (lea: son elementos de otras clases; las clases pueden ser elementos de otras clases.
Si suponemos (por el bien de la discusión) que ZFC es consistente, entonces tiene un modelo, llamémoslo $V$. Desde el Russell y Cantor paradojas, sabemos que $V$ no puede pensar de $V$ como un conjunto. De hecho, $V$ es un engreído pedazo de objeto matemático y piensa de sí mismo mayor que cualquier posible, y que cada posible conjunto es ya un elemento.
Sin embargo, si tenemos en cuenta el $V$ externamente, a continuación, puede ser un conjunto en algunas de las mayores del universo (que es, posiblemente, un conjunto en un universo más grande, y así sucesivamente...). El punto es que desde un interno punto de vista, $V$ no puede trabajar con arbitraria colecciones de elementos. Si tenemos una clase que se define de una manera tan agradable como la anterior, entonces podemos escribir teoremas acerca de esta clase, a pesar de que no es un elemento del modelo. Esto significa que no podemos decir que $A\in V$ si $A$ es de clase, pero podemos hablar de "elementos en $A$" como si $A$ fueron para ser un conjunto.
Considere la posibilidad de $V=\{a\mid a=a\}$, este es el universo entero. Toda la colección de conjuntos disponible para nosotros en una cierta interpretación de ZFC. $V$ no es un conjunto en todo desde su propio punto de vista. Todavía es definible colección, y podemos demostrar teoremas acerca de esta clase. Sin embargo el manejo de estas colecciones requieren un poco más de cuidado.
Otro ejemplo importante es la edificable universo denotado por $L$, el cual es esencialmente el más pequeño de la clase transitiva-modelo de ZFC con el mismo ordinales como el universo original. Existe alguna fórmula $\varphi(x)$ tal que $\{x\mid \varphi(x)\}=L$. Es decir, esta fórmula define una clase adecuada, pero todavía podemos "usar" esta clase casi como si estuviéramos utilizando conjuntos de demostrar teoremas.
Por ejemplo, podemos escribir el siguiente teorema "Si $\forall x\forall y(\varphi(x)\land\varphi(y))$ existe $\psi(x,y)$ tal que $\{\langle x,y\rangle\mid\psi(x,y)\}$ es un buen orden".
Que es escribir "No existe un definibles por el bien de pedidos de $L$", que es un teorema que involucran dos clases, pero en una forma totalmente válida.
Este punto es muy delicado, y probablemente debería estudiar algo más de lógica y teoría de conjuntos con el fin de comprender plenamente. Sin embargo, las clases son objetos sintácticos (como Miha comentarios de abajo) y nos puede dar algún significado a la hora de interpretar ZFC con un modelo (es decir, como un objeto semántico).
Así, mientras que las clases no son objetos per se de ZFC, en algunos casos, todavía podemos trabajar con ellos si somos lo suficientemente cuidadoso.
Esta noción se ha formalizado completamente dentro de la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel. Esta teoría de conjuntos es un conservador extensión de ZFC, es decir, si probamos algo en este entorno, y lo hicimos utilizando sólo establece, entonces no es una prueba de ZFC.
En esta teoría, propia de las clases son objetos del universo, y "La clase de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos" tiene perfectamente válido significado semántico.
