¿Por qué son funciones analíticas de las funciones de $z$ y no de $\bar{z}$?

Question

Estaba leyendo una nota en el análisis complejo y fue atrapado en una línea:

De Cauchy-Riemann ecuaciones

Alternativamente, el C-R ecuaciones se pueden escribir como $$\frac{\partial f}{\partial\bar z}=0,$$ donde$z=x+iy$$\bar z=x-iy$.

En cierto sentido, las funciones analíticas son realmente las funciones de $z$, y no de $\bar z$. $$\begin{array}{c} \frac\partial{\partial z} = \frac 1 2 \left(\frac\partial{\partial x}-i\frac\partial{\partial y}\right) &\frac\partial{\partial \bar z}=\frac 1 2 \left(\frac\partial{\partial x}+i\frac\partial{\partial y}\right) \end{array}$$

No entiendo qué significa que "funciones Analíticas son realmente las funciones de $z$ y no de $\bar{z}$." Puede alguien explicar? Gracias de antemano por tu tiempo.

Answer 1

Edición ligeramente (gracias @Matt E): Un enfoque alternativo para dar significado a la frase es esta. Un complejo de valores reales de la analítica de la función $f$ puede ser ampliado en una potencia de la serie en $x$$y$, por lo tanto, por sustitución, en $z$ y $\bar z$. $f$ es complejo analítica precisamente cuando no $\bar z$'s aparece en la última expresión. Por ejemplo, $f(x,y)=(x^2-y^2)+2ixy = z^2$ es, por supuesto, complejo analítica, sino $f(x,y)=(x^2+y^2)-2ixy = z\bar z +\frac12(\bar z^2-z^2)$ no lo es. Por supuesto, esto es equivalente al cálculo de $\partial f/\partial\bar z \overset{?}{=} 0$.

Answer 2

Esto es para ser tomado "en algún sentido" o como un recurso mnemotécnico para el CR. Como $\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0$ sugiere, el valor de la función no cambia cuando se $\bar z$ cambios. Por supuesto, esto no tiene sentido en la medida en que si usted sabe $\bar z$ la conoces $z$ y, a continuación, usted puede obtener el (cambiar) el valor de $f$, pero a la vez una función como $z\mapsto az+b\bar z+c$ es analítico si y sólo si $b=0$, es decir, no es sólo una parte dependiendo $z$ sí mismo y la posible parte dependiendo $\bar z$ debe ser constante.

Answer 3

La pregunta refleja una razonable confusión, basado en la palabra de uso, como se refleja en parte en @HagenvonEitzen la respuesta. Es decir que el $f$ "es una función de" $z$ es que sabiendo $z$ determina la $f(z)$. Pero este coloquial (y a menudo precisa!) el sentido es demasiado amplio. De hecho, si conocemos $z$, sabemos $\bar{z}$, y viceversa, por lo que el sentido más amplio "$f$ es una función de $z$, no de $\bar{z}$" sería la auto-contradictoria, de verdad!

Un sentido más técnico de "es que no una función de" es que la derivada se desvanece, la idea de que, si una función no cambia cuando "una variable" cambios, no "depender" de esa variable. (Esto es todavía vaga!) Además, en el caso que nos ocupa, las "definiciones" de los derivados-con-respecto-a -$z$ $\bar{z}$ son, posiblemente, en parte artificial, por lo que esta interpretación es aún más tenues.

Sin embargo, como en HagenvonEitzen lineal ejemplo, los experimentos con polinomios sugieren que este derivado de la interpretación es la correcta.

De hecho, un aficionado a la interpretación acerca de "complexifying la tangente paquete", muestra que existe realmente es un sentido fundamental para esta interpretación, aunque, sin duda, en el punto que se presenta en la educación es difícil conseguir un apretón.

Answer 4

Supongamos que

$$f(z) = |z|^2 = z\cdot \bar{z}$$

$$\frac{df(z)}{d\bar{z}} = z $$

que no es idéntica $0$ por lo tanto $f(z)$ es de la analítica de la nada, porque la definición para ser analítico en $z=0$ es absurdo . funciones analíticas que sólo se definen en bloques abiertos .