historia de la solución de doble raíz de $ay''+by'+cy=0$

Question

Motivación: Es un hecho conocido que $ay''+by'+cy=0$ tiene soluciones que se encuentran al sustituir el ansatz $y=e^{\lambda t}$ en el DEqn. Resulta que sustituimos el problema de cálculo $ay''+by'+cy=0$ con el problema de álgebra de resolver la ecuación característica $a\lambda^2+b\lambda+c=0$ . Cuando la solución es un par conjugado de números complejos o un par distinto de números reales, las soluciones surgen de $e^{\lambda t}$ . Por otro lado, cuando la solución es real y se repite entonces la solución del ansatz $y=e^{\lambda t}$ sólo cubre la mitad de la solución general.

Supongamos que $a\lambda^2+b\lambda+c=0$ tiene solución de doble raíz $\lambda = r$ entonces formamos la solución general de $ay''+by'+cy=0$ como $$ y(t) = c_1e^{rt}+c_2te^{rt}. $$ La inclusión del $t$ en la solución es sorprendente para muchos estudiantes. Creo que muchos se han preguntado "¿dónde está el $t$ de la que viene?". Por supuesto, también podríamos preguntar "¿dónde está el $e^{\lambda t}$ de la que proviene?". Conozco varias formas de derivar la $t$ . En particular:

1. $y''=0$ se integra dos veces en $y=c_1+tc_2$ y $e^{0t}=1$ por lo que este es un ejemplo de la doble raíz. Un simple cambio de coordenadas permite extender esta derivación a una raíz doble arbitraria.

2. reducción de orden a un sistema de EDO en forma normal. Obtendremos un $2 \times 2$ matriz que no es diagonalizable. Sin embargo, la matriz exponencial da una solución y el trozo de vector e generalizado genera la $t$ en la segunda solución.

3. se puede utilizar la segunda fórmula de solución linealmente independiente de la teoría de las EDO. Esta fórmula se encuentra haciendo una reducción de orden basada en el hecho $y=e^{rt}$ es una solución. Después de un poco, el problema se reduce a una EDO lineal que se integra para dar una bonita fórmula con integrales anidadas. Esta fórmula también derivará la $t$ en la solución de doble raíz.

4. Transformadas de Laplace. Podemos transformar la EDO dada en $t$ para obtener una ecuación de álgebra con $(s-r)^2Y$ que da $\frac{F(s)}{(s-r)^2}$ y al transformar de forma inversa la apariencia del $(s-r)^2$ en el denominador nos da el $te^{rt}$ solución

5. Operadores inversos. Al escribir la EDO dada como $(D-r)^2[y]=0$ podemos integrar de cierta manera y volver a derivar el $te^{rt}$ solución.

6. Técnicas de solución en serie.

7. añadido el 10/6: empezar con la solución raíz distinta $y=c_1e^{\lambda_1 t}+c_2e^{\lambda_2t}$ y considerar el límite $\lambda_1 \rightarrow \lambda_2$ para derivar la segunda solución.

Estos son los métodos que parecen bastante obvios a la vista del curso de introducción (hasta la notación, varios de ellos son el mismo método). Mi pregunta es la siguiente:

Pregunta: Cuál es la historia de la solución $y=te^{rt}$ ? ¿Quién ha estudiado el problema? $ay''+by'+cy=0$ y encontró esta solución?

También me interesan las subhistorias particulares de los otros métodos que menciono arriba.

Gracias de antemano por cualquier idea.

Answer 1

Del extraordinario libro de E. L. Ince Ecuaciones diferenciales ordinarias Capítulo V (1956):

5-21. Conjuntos fundamentales de soluciones. -Cualquier conjunto linealmente independiente de $n$ soluciones $u_1,\,u_2\,...,\,u_n$ de la ecuación $$ L(u) = 0 $$ se dice que forma un conjunto fundamental ou sistema fundamental *. A la inversa, la condición de que cualquier conjunto de $n$ soluciones debe ser un conjunto fundamental es que el Wronskian de la $n$ soluciones no es cero. La solución general de la ecuación serᆠ$$ u = C_1 u_1 + C_2 u_2 + ... + C_n u_n, $$ que no puede desaparecer idénticamente a menos que las constantes $C_1,\,C_2\,\,...C_n$ sea todo cero. $${}$$ $^*$ El término sistema fundamental se debe a Fuchs, J. für Math . 66 (1866), p. 126

† Lagrange, Varios Taur. , 3 (1762-65), p. 181

Y sigue construyendo un conjunto fundamental y demostrando -muy formalmente debo añadir- que satisface la ecuación diferencial. Luego sigue

Cuando el sistema fundamental se toma en la forma $$ u_1 = v_1,\, u_2 = v_1 \textstyle{\int} v_2 dx,\, ...,\, u_n = v_1 \textstyle{\int} v_2 \textstyle{\int} ... \textstyle{\int}v_n (dx)^{n-1}, $$ la ecuación se convierte en‡ $$ \frac{d}{dx}\cdot\frac{d}{v_n dx} \cdot \frac{d}{v_{n-1} dx} \cdots \frac{d}{v_2 dx} \cdot \frac{u}{v_1} = 0. $$ $${}$$ ‡ Frobenius, J. für Math . 76 (1873), p.264 ; 77 (1874), p. 256.

Terminar la sección demostrando que los operadores diferenciales no son en general permutables. Entonces

5-22. Depresión del orden de una ecuación. -Si $r$ soluciones independientes de la ecuación de orden $n$ , $$ L(u) = 0, $$ son conocidos, entonces el orden de la ecuación puede reducirse a $n-r$ . Para dejar $$ u_1,\, u_2\, ...,\, u_r $$ sean las soluciones conocidas, y que $$ v_1 = u,\, v_2 = \frac{d}{dx}\left(\frac{v_1}{u_2}\right),\, v_3 = \frac{d}{dx}\left\{\frac{1}{v_2}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{u_3}{v_1}\right)\right\}, $$ y así sucesivamente como antes. Entonces, como se sabe que la ecuación es finalmente de la forma $$ \frac{d}{dx} \cdot \frac{d}{v_n dx} \cdot ... \cdot \frac{d}{v_{r+1} dx} \cdot \frac{d}{v_r dx} \cdot ... \cdot \frac{d}{v_2 dx} \cdot \frac{u}{v_1} = 0, $$ podría escribirse como $$ P(v) = 0, $$ donde $$ v = \frac{d}{v_r dx} \cdot \frac{d}{v_{r-1} dx} \cdot ... \cdot \frac{d}{v_2 dx} \cdot \frac{u}{v_1} \tag{A}, $$ y $P$ es un operador lineal de orden $n-r$ .

Si cualquier solución de $P(v) = 0$ es obtenible, el valor correspondiente de $u$ puede obtenerse directamente de (A) mediante $r$ cuadraturas.

Entonces

5-23. Solución de la ecuación no homogénea. -Considere ahora la ecuación general $$ L(x) = r(x), \tag{A} $$ se supone que un conjunto fundamental de soluciones $u_1(x),\,u_2(x),\, ...,\, u_n(x)$ de la ecuación reducida son conocidos.

Entonces la solución general de la ecuación reducida es $$ u = C_1 u_1 + C_2 u_2 + ... + C_n u_n, $$ en el que $C_1,\, C_2,\, ...,\, C_n$ son constantes arbitrarias. Ahora bien, al igual que en el caso de las ecuaciones lineales de primer orden (§2-13), también aquí el método de variación de los parámetros § se puede aplicar para determinar la solución general de la ecuación considerada. $${}$$ § Lagrange, Œuvres , 4, pp. 9, 159

En el capítulo IV:

6-1. El Operador lineal con Coeficientes Constantes. -La ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes $$ A_0 \frac{d^n y}{dx^n} + A_1\frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + ... + A_{n-1} \frac{d y}{dx} + A_n y = 0 \tag{A} $$ fue la primera ecuación de tipo general que se resolvió completamente¶. $${}$$

¶ Parece que la solución fue conocida por Euler y por Daniel Bernoulli hacia el año 1739. El primer relato publicado fue dado por Euler, Varios Berol . 7 (1743), p. 193 ; véase también Inst. Calc. Int . 2, p.375

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6-14. El caso de los factores repetidos considerado como un caso límite. -Un método muy potente para atacar el caso en el que el operador $$ A_0 D^n + A_1 D^{n-1} + ... + A_{n-1} D + A_n $$ tiene un factor repetido se debe a d'Alembert**. $${}$$ $^{**}$ Hist. Acad. Berlín 1748, p. 283.

¡Qué tal un poco de historia!

_{(La reproducción de las secciones tiene fines ilustrativos y educativos. No se pretendía violar los derechos de autor. Por favor, sólo edite si encuentra errores tipográficos o gramaticales. La notación oscura forma parte del texto y refleja la tendencia histórica)}

Answer 2

He aquí algunos fragmentos relevantes de la historia:

Euler escribió a Johann Bernoulli en 1739, describiendo cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo o mayor orden con coeficientes constantes, tales como $$ y+a{dy\over dx}+b{d^2y\over dx^2}+c{d^3y\over dx^3}+\dots=0 $$ Lo hizo introduciendo la ecuación característica, y factorizándola en términos lineales y cuadráticos. En notación ligeramente modernizada, esto viene dado por $$ 1-ap+bp^2-cp^3+\dots=\prod_i(1-\gamma_ip)\cdot \prod_j (1-\alpha_j p+\beta_j p^2)$$ Los factores lineales producen soluciones de la forma $C{\rm e}^{-x/\gamma_i}$ y los factores cuadráticos producen soluciones que implican funciones trigonométricas. El caso con raíces múltiples no se menciona en esta carta.

Esta carta está disponible en línea con la parte pertinente que comienza en la página 37. Se trata de una carta muy interesante e importante, ya que establece la ya conocida conexión entre las funciones exponenciales y trigonométricas, y también establece el seno y el coseno como funciones en lugar de segmentos de línea en las figuras geométricas.

${}$

Una referencia explícita es el Cálculo Integral de Euler, publicado en tres volúmenes (1768-1770). La tercera edición está disponible en línea y en la segunda parte, capítulo 4, p. 79, problema 102, considera explícitamente el caso con raíces múltiples. Dice que la solución general de la ecuación $$\partial \partial y + A\partial y \partial x + By \partial x^2 =0$$ viene dada por $${\rm e}^{-{1\over 2}Ax}\bigl(\alpha{\rm e}^{nx}+\beta{\rm e}^{-nx}\bigr)$$ donde $n=\sqrt{A^2/4-B}$ y que si $n=0$ entonces esto produce el resultado $${\rm e}^{-{1\over 2}Ax}\bigl(\alpha+\beta x\bigr)$$

${}$

Sin embargo, una fecha de la década de 1760 debe ser demasiado tardía para el descubrimiento. De hecho, según Victor Katz En 1730, Euler ya estaba familiarizado con la función exponencial y la utilizó para resolver varias ecuaciones diferenciales en la década de 1730. Muy posiblemente ecuaciones como $y''+2y'+y=0$ se resolvieron entonces.

Answer 3

Hace años, cuando estudié un problema relacionado, tomé el límite a medida que las 2 raíces se acercaban. Eso me llevó al par de soluciones.

Answer 4

En las ecuaciones diferenciales ordinarias de Arnold hay un pasaje sobre la historia (sección 26.4 en la última edición rusa). Dice algo así Si tenemos dos raíces $\lambda_1$ y $\lambda_2$ entonces geométricamente $c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}$ es un avión. Si $\lambda_1\to \lambda_2$ entonces este plano se convierte en una línea recta. Pregunta: ¿es posible encontrar una posición límite del plano original? Consideremos otra base para el plano: $e^{\lambda_1t}$ y $e^{\lambda_1t}-e^{\lambda_2t}\approx (\lambda_2-\lambda_1)te^{\lambda_1t}$ Por lo tanto, cuando $\lambda_1\to\lambda_2$ entonces $(e^{\lambda_1t}-e^{\lambda_2t})/(\lambda_1-\lambda_2)\to te^{\lambda_1 t}$ . Así es, según Arnold, como Euler y Lagrange adivinaron la solución $te^{\lambda t}$ .

Answer 5

Creo que esto es lo suficientemente sencillo como para que cualquiera de los grandes de la época pudiera haberlo resuelto. Consideremos la ecuación diferencial en la forma $$(D - r)^2y = 0$$ Si dejas que $z = (D - r)y$ esto se convierte en $$(D - r)z = 0$$ Así que $z(x) = Ce^{rx}$ y la ecuación diferencial original se convierte en $$(D - r)y = Ce^{rx}$$ Se trata de una ecuación lineal de primer orden; se multiplica por $e^{-rx}$ y se convierte en $$e^{-rx}y' - re^{-rx}y = C$$ El lado izquierdo es $(e^{-rx}y)'$ y ahora se puede resolver fácilmente.

Veo esto y me imagino que alguien como Euler o Bernoulli habría resuelto muy rápidamente algo así. Estos argumentos de cálculo elemental eran realmente su especialidad. Así que dudo que haya una persona que se haya dado cuenta por primera vez. No me sorprendería que el propio Isaac Newton tuviera la ocasión de descubrirlo, ya que estas ecuaciones diferenciales aparecen con mucha frecuencia en la mecánica clásica. Por supuesto, algunas de las otras formas de resolverlo que se han mencionado aquí podrían habérseles ocurrido antes de lo que he escrito aquí.