Integral de la FCD es igual a valor esperado

Question

La pregunta siguiente...

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Que $X$ ser una variable de aleatoria no negativa y $F_{X}$ la FCD correspondiente. Mostrar,

$$E(X) = \int_0^\infty (1-F_X (t)) \, dt$$

en el caso que, $X$ tiene una

distribución continua b distribución a) discreta)

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Supuse para el caso de una distribución continua, desde $F_X (t) = \mathbb{P}(X\leq t)$, entonces el $1-F_X (t) = 1- \mathbb{P}(X\leq t) = \mathbb{P}(X> t)$. Aunque la utilidad es la integración, realmente no tengo idea.

¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Para cada variable aleatoria no negativo $X$, ya sea discreta o continua o una combinación de éstos, $$ X = \int_0^ {+ \infty} \mathbf 1_ {X\gt t} \,\mathrm dt = \int_0^ {+ \infty} \mathbf 1_ {X\geqslant t} \,\mathrm dt, por lo tanto $$ $$ \mathrm E (X) = \int_0^ {+ \infty} \ mathrm P (X\gt t) \,\mathrm dt = \int_0^ {+ \infty} \mathrm P(X\geqslant t) \,\mathrm dt. $$

Answer 2

Copiado de la Cruz Validado / stats.stackexchange:

donde $S(t)$ es la supervivencia de la función igual a $1- F(t)$. Las dos áreas están claramente idénticos.