Productorio

Question

Cómo se resuelve el producto infinito de $$\prod_{n=2}^\infty\frac{n^3-1}{n^3+1}?$ $

Sé que tengo que decírnoslo a $$\frac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)},$ $

pero, ¿cómo hago el producto parcial?

Gracias mucho por adelantado.

Si no me equivoco la respuesta es 2/3

Answer 1

Sugerencia: Que $f(x)=x^2+x+1$. Entonces el $f(n)=n^2+n+1$ y $f(n-1)=n^2-n+1$. Esto le permitirá "telescopio" términos $\frac{n^2+n+1}{n^2-n+1}$. Un montón de cancelación sucediendo.

Los términos de $\frac{n-1}{n+1}$ también telescopio.

Sugeriría que usted anote los términos que está multiplicando, $n=2$, $3$, $4$, incluso $5$. Expresar cada término en la forma factorizada mencionada en el post. Por ejemplo, $n=2$ tenemos $\frac{1\cdot 7}{3\cdot 3}$. El colapso será visualmente claro.

Answer 2

Después de factorización, el producto parece $(\frac{1}{3}\frac{2}{4}\frac{3}{5}\frac{4}{6}\frac{5}{7}\cdots)(\frac{7}{3}\frac{13}{7}\frac{21}{13}\frac{31}{21}\frac{43}{31}\cdots)=(2)(1/3)=2/3$.$$$$ Here terms in first () are from expression $\frac{n-1}{n+1}$ and terms in second () from expression $\frac{n^2+n+1}{n^2-n+1}$.