Identidad de matriz cofactor blockwise

Question

Wikipedia da una identidad para la inversión de blockwise, asumiendo que existen las correspondientes inversas:

$$\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D}\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}^{-1}+\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1} & -\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1} \\ -(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1} & (\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1} \end{bmatrix}$$

Hay una fórmula general correspondiente de la matriz de cofactores:

¿$$\operatorname{adj}^T\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D}\end{bmatrix}$ $ Cuando $\mathbf{A}^{-1}$ o $(\mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B})^{-1}$ no no necesariamente existen?

¿Hay al menos uno para matrices confinados, es decir, $\mathbf{D} \in \mathbb{C}^{1\times 1}$?

Answer 1

$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} $

Deje $M = \begin{pmatrix} A_{m\times m} & B_{m \times n} \\ C_{n \times m} & D_{n \times n}\end{pmatrix}$, a continuación, la siguiente siempre tiene $$ \begin{pmatrix} (\det{D})^{m-1} I_m & 0 \\ 0 & (\det(A))^{n-1}I_n \end{pmatrix} \adj M = \begin{pmatrix}\adj(A\det(D)-B\adj(D)C) & 0 \\ 0 & \adj(D\det(A) - C\adj(A)B)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \det(D)I_m & -B\adj D\\ -C\adj A & \det(A)I_n\end{pmatrix}.\tag{0}$$

Prueba: Supongamos que, inicialmente , que el $M,A,D$ es invertible. Esto implica también la invertibility de $F = D - C\inv{A}B$ $G=A-B\inv{D}C.$

Tenemos $\det(M) = \det(A) \det(F) = \det(D)\det(G).$

Bajo estos supuestos, $$M^{-1} = \begin{pmatrix} \inv{G} & 0 \\ 0 & \inv{F} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_m & -B\inv{D}\\ -C\inv{A} & I_n\end{pmatrix}$$ y $\adj M = \det(M) \inv{M} = \begin{pmatrix} \det(G)\inv{G} & 0 \\ 0 & \det(F) \inv{F} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \det(D)I_m & -B\det(D)\inv{D}\\ -C\det(A)\inv{A} & \det(A)I_n\end{pmatrix}.$

Así, $\adj M = \begin{pmatrix} \adj{G} & 0 \\ 0 & \adj(F) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \det(D)I_m & -B\adj D\\ -C\adj A & \det(A)I_n\end{pmatrix}. \etiqueta{1}$

Ahora$G = \dfrac{A\det(D) - B\adj(D)C}{\det(D)},$, por lo que $ \adj(G) = \left(\dfrac{1}{\det(D)}\right)^{m-1}\adj(A\det(D)-B\adj(D)C)$ y de manera similar a $\adj(F) = \left(\dfrac{1}{\det(A)}\right)^{n-1}\adj(D\det(A) - C\adj(A)B). \tag{2}$

Inversión (2) en (1) obtenemos $$ \begin{pmatrix} (\det{D})^{m-1} I_m & 0 \\ 0 & (\det(A))^{n-1}I_n \end{pmatrix} \adj M = \begin{pmatrix}\adj(A\det(D)-B\adj(D)C) & 0 \\ 0 & \adj(D\det(A) - C\adj(A)B)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \det(D)I_m & -B\adj D\\ -C\adj A & \det(A)I_n\end{pmatrix}.$$

En el espacio de $n \times n$ reales (o complejos) de matrices, la invertible matrices densas. Dado cualquier $M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$ vamos a encontrar una secuencia de matrices de $M_n = \begin{pmatrix} A_n & B_n \\ C_n & D_n \end{pmatrix}$ tal que $M_n,A_n,D_n$ es invertible y $\lim_{n\to\infty}M_n = M.$ Puesto que (0) se tiene para $M_n,A_n,B_n,C_n$ y desde el LHS y RHS son funciones continuas podemos dejar $n \to \infty$ y obtener el resultado para todos los $M$.