Estoy leyendo un libro sobre análisis y dice que en R ^ n con la topología generalmente, cualquier conjunto abierto que contiene una bola cerrada también contiene una bola abierta que contiene la bola cerrada. Pero no parece claro para mí. Alguien me podría decir ¿por qué es así?
Respuestas
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Leon Katsnelson
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Deje $U$ ser abierto y $C \subset U$ ser compacto. Deje $B$ el de apertura de la unidad de la bola centrada en el origen. Deje $U_n = C+{1 \over n}B$, que se ve fácilmente para que se abra y $C \subset U_n$.
A continuación, $U_n \subset U$ algunos $n$. Para ver esto, supongamos que no es cierto, entonces existe algún $u_n \in U_n \setminus U$ todos los $n$. Por construcción, no han $u_n = c_n + {1 \over n} b_n$ donde $c_n \in C, b_n \in B$. Desde $c_n \in C$, $c_{n_k} \to c \in C$ para algunos subsequence $n_k$. De ello se desprende que $u_{n_k} \to c$. Sin embargo, desde la $U^c$ está cerrado, tenemos a $c \in U^c$ que contradice $c \in U$.
Desde el cerrado de la bola en $\mathbb{R}^n$ es compacto, el resultado de la siguiente manera.
Ishfaaq
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Esto no es una solución pero una sugerencia y que requiere verificación por parte de alguien más calificado.
Que $ B = \{ y \in \Bbb R^n \ | \ |x - y| \le r \}$ ser cerrado el supuesto contenido en el conjunto abierto dado $A$. Ahora consideremos los puntos en el boudnary. Es el conjunto de $ \overline B = \{ y \in \Bbb R^n \ | \ |x - y| = r \} $. Ahora para cada $x \in \overline B$, $x \in A$ y por lo tanto hay $\delta_x$ tales que la bola centrada en $x$ $\delta_x \gt 0$ de la radio se encuentra en $A $. Ahora toma $\delta = \inf \{ \delta_x \ | \ x \in \overline B\} $. Entonces la bola abierta $ \{ y \in \Bbb R^n \ | \ |x - y| \lt r + \delta \} $ contiene $B$ y es un subconjunto de $A$.
