¿Implica la afirmación de que cada dos cardinalities son comparables el axioma de elección?

Question

¿Si fuera, por cualquier dos juegos $A$ y $B$, o $|A|<|B|, |B|<|A|$ o $|A|=|B|$ sostiene, hace que el axioma de la opción tiene? ¿Por qué?

Answer 1

Este es Hartogs teorema.

Supongamos que $A$ es un conjunto, vamos a $\aleph(A)$ ser el mínimo ordinal $\alpha$ tal que $|\alpha|\nleq|A|$. No podemos tener ese $\aleph(A)\leq|A|$, por lo que si asumimos que todas las cardinalidades son comparables tenemos que tener ese $|A|<\aleph(A)$. Esto significa que $A$ puede ser bien ordenado, como puede ser inyectado en un ordinal.

También se sabe que si todo conjunto puede ser bien ordenado, entonces el axioma de elección se mantiene.

(El ordinal $\aleph(A)$ es conocido como el Hartogs número de $A$ , y juega un papel importante en muchas de estas construcciones)

Answer 2

Esta es la famosa tricotomía. Implica el axioma de elección. Puede encontrar una lista parcial de los equivalentes de AC en Wikipedia.