Cortes de Dedekind versus secuencias de Cauchy

Question

Hay ventajas o desventajas en la definición de un número real de las siguientes maneras:

Definición 1 Un número real es un objeto de formulario $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ $(a_n)_{n}^{\infty}$ Dónde está una secuencia de cauchy de números racionales.

Definición 2 Un número real es un corte en $\mathbb{Q}$.

Answer 1

Son los mismos (hasta isomorfismo de orden-que preserva). Aplazar a 15 Teorema de una respuesta anterior mía.

Por otra parte, su primera definición es incorrecta. Se supone que las clases de equivalencia de secuencias de Cauchy de racionales - si no tienes un anillo pero no un campo.

Answer 2

En el caso de los números reales, la construcción es isomorfo, como kahen dijo en su respuesta.

Si usted mira este hecho lo suficientemente cerca, te das cuenta de que esto es debido a que la columna vertebral de la recta real es en realidad de los enteros, que no tiene acumulación de puntos dentro de sí mismo, es decir, si una secuencia converge tiene que ser constante a partir de un cierto punto.

Este hecho, aunque parece no estar relacionado, nos ayuda a evitar el siguiente caso: Considere algunas densa orden lineal (como los racionales) sólo que más grande. Por ejemplo, poner dos copias de los racionales en la parte superior de la otra, por supuesto, esto puede ser incorporado de nuevo en los racionales en sí, pero tenga en cuenta el Dedekind cierre de esta orden. Habría un punto que es el punto exacto en el que se pase de la primera copia de los racionales a la segunda. (Esto puede no ser un buen ejemplo, si usted tiene una mejor ejemplo - este post es la CW por esta misma razón)

Así que ahora vamos a tratar de demostrar algo (juntos, me quedó atascado a mitad de camino a través y a pesar de que la intuición es claro para mí, estoy seguro de cómo ponerlo en palabras - y esto bien podría ser completa basura.)

Teorema: Suppse $F$ es un orden de campo (por lo que tiene características de 0, y podemos suponer $\mathbb{Q}\subseteq F$, sin pérdida de generalidad) de tal forma que su Cauchy finalización (denotado por $C(F)$) y Dedekind finalización (denotado por $D(F)$), tanto en forma de un campo y es el mismo campo (es decir, hay un anillo de isomorfismo entre ellos).
A continuación,$F\subseteq\mathbb{R}$.

Prueba: Supongamos que no. Desde $\mathbb{Q}\subseteq F$ $\mathbb{R}\subseteq C(F)$ (y de la nuestra suposición, $\mathbb{R}\subseteq D(F)$ - ellos son isomorfos). Ahora vamos a $a\in C(F)\setminus\mathbb{R}$ (sin pérdida de generalidad tome $a>0$), que es no es de Cauchy límite racional de las secuencias. El significado de cada $a_n\to a$ tiene sólo un número finito de elementos racionales, así que, de nuevo sin pérdida de generalidad $a_n$ no es racional para todos los $n$. Desde $D(F)$ es un orden de campo así es $C(F)$, si no se $r\in\mathbb{R}$ tal que $a<r$ entonces tenemos que $a\in (0,r)$, por lo que podemos encontrar un racional secuencia de Cauchy que converge a $a$. Que decir que $a>r$ para cualquier número real $r$.

Una vez más, utilizamos el isomorfismo, $a$ define un corte que significa que el conjunto de $A = \{x\in F| x>q,\ \forall q\in\mathbb{Q}\}$ no está vacía, tome $z$ a ser el corte se define como el número entre el $\mathbb{Q}$ $A$ (usualmente denotado por $z=\langle \mathbb{Q}\big| A\rangle$). Tomar algunas $\epsilon>0$ $z-\epsilon$ ya es más pequeña de lo que algunos número racional, y por lo tanto puede ser expresado como un límite de los números racionales, ergo $z-\epsilon\in\mathbb{R}$.

Tome $z_n \to z$ algunos de Cauchy de la secuencia, ya que $z$ no puede ser expresado como un número real, podemos suponer $z_n$ no es racional para todos los $z$, y por lo tanto, incluso si tomamos los números reales no podemos expresar $z$ como Cauchy límite de tales números reales. Sin embargo, para todos los $\epsilon>0$ podemos expresar $z-\epsilon$ como límite de Cauchy de números reales, de modo que podemos elegir alguna secuencia que convergen a $z$ Cauchy sabio, el cual es una contradicción.

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Estoy bastante seguro de que he hecho un lío grande en esta prueba, y me gustaría mucho si alguien va a limpiar un poco. Debería de ser más fácil de probar algunos modelo teórico del método, o tal vez por el uso equivalente de las topologías del orden y de la métrica. No estoy seguro.

Dicho esto, estoy totalmente de resentir la idea que se basa métrica espacios en la recta real y luego decimos que no hay métrica-completa ordenó a los campos, excepto en $\mathbb{R}$.