Fijar un conjunto $X$. Deje $\mathcal{F}_0$ ser un conjunto de funciones $g:X\to\mathbb{R}$. Deje $\mathcal{T}_0$ ser el más pequeño de la topología en $X$ en el que todos los $g\in\mathcal{F}_0$ son continuas. Siguiente, decimos que una función $f:X\to\mathbb{R}$ es generada localmente por $\mathcal{F}_0$, si para cada a $x\in X$, existe un abierto vecindario $U\in\mathcal{T}_0$ de $x$, $k\in\mathbb{N}$, $g_1,...,g_k\in\mathcal{F}_0$, y un mapa continuo $F:\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}$ tal que forall $y\in U$,$f(x)=F(g_1(x),...,g_k(x))$. Deje $\mathcal{F}$ ser el conjunto de todas las funciones de $f:X\to\mathbb{R}$ generados localmente por $\mathcal{F}_0$, e $\mathcal{T}$ el más pequeño de la topología en la que todos los $f\in\mathcal{F}$ son continuas.
Tenga en cuenta que uno puede demostrar que $\mathcal{T}_0=\mathcal{T}$.
Ahora suponiendo que $\mathcal{T}$ $T_0$ topología, probar directamente que es $T_3$ (regular), y luego demostrar que es $T_{3\frac{1}{2}}$ (completamente regular).
Puede alguien me ayuda con probar esto?? Ni siquiera puedo empezar...
También, si alguien tiene alguna referencia de este problema, que me haga saber, a continuación, voy a apreciar. Gracias de antemano...
Cosas nuevas
Por otro lado, he tratado de refutar el problema anterior por dar un contra-ejemplo... Si alguno de los interesados en la siguiente reclamación, usted puede comprobar y verificar. Además, si usted puede encontrar cualquier error o falsedad en la solicitud, y si usted, hágamelo saber, voy a apreciar mucho... Gracias.
Ahora, yo pensaba que el siguiente ejemplo es un ejemplo contrario, pero tengo $0$ puntuación en este.. (era una tarea ya sea para probar o refutar (por dar un ejemplo contrario).)
Deje $X=\mathbb{R}$ $\mathcal{F}_0=\{f,g\}$ donde $f$ está definido por $f(x)=x$$x\geq 0$, e $f(x)=-\frac{1}{2}x$$x<0$, e $g(x)=-\frac{1}{2}x$$x\geq 0$$g(x)=x$$x<0$. Luego, mediante la elaboración de un gráfico, se puede ver fácilmente que los más pequeños de la topología generada por esta función es $T_0$ espacio (puede elegir arbitraria pequeño intervalo abierto en $Y$-eje separte de un punto (en $X$) desde otro punto (en $X$)). Ahora consideremos un punto de $-\frac{1}{2}$ y un subconjunto cerrado $[0,1]$. Puesto que para cada $(a,b)\subset\mathbb{R}$ tal que $\frac{1}{2},\frac{1}{4}\in(a,b)$, $f^{-1}(a,b)$ o $g^{-1}(a,b)$ intersecta $[0,1]$, mientras que el $f^{-1}(a,b)$ o $g^{-1}(a,b)$ son básicos abierto pone en $\mathcal{T}_0$, que contengan $-\frac{1}{2}\in\mathbb{R}$, me dicen que no es regular, y por lo tanto no es completamente regular.
