¿Qué se entiende por "los coeficientes de una función polinómica $f(x)$ son funciones simétricas de sus raíces"?

Question

Estoy leyendo Rotman de la Introducción a la Teoría de grupos.

Uno de sus primeros comentarios es que:

Por el medio del siglo xviii siglo, se dieron cuenta de que las permutaciones de las raíces de un polinomio $f(x)$ eran importantes; por ejemplo, se sabe que los coeficientes de $f(x)$ "simétrica", las funciones de sus raíces.

No son los coeficientes de un polinomio de la función de las constantes? ¿Cómo pueden entonces ser las funciones, y mucho menos "simétrica funciones"?

Answer 1

Considerar la cúbica de la forma $x^3+Px^2+Qx+R$ y Supongamos que tiene raíces $a$, $b$ y $c$. Entonces:\begin{align} P&=-a-b-c\\ Q&=ab+ac+bc\\ R&=-abc \end {Alinee el} estas son las llamadas funciones "simétricas" de $a$, $b$, y $c$, porque la conmutación alrededor no cambia el valor de la función.

Prueba: Esto se deduce observando que el cúbico es $(x-a)(x-b)(x-c)$. Sólo multiplicar hacia fuera e igualar coeficientes.

Answer 2

Si usted sabe lo que son las raíces de un polinomio son, se pueden utilizar las raíces para calcular los coeficientes, hasta un factor constante. Esto significa que, por ejemplo, para monic de quinto grado de los polinomios, hay una función que toma las cinco raíces como entradas y produce, digamos, el coeficiente de $x^2$ en el polinomio. (A destacar, esta es una función que funciona para todos los grados-5 polinomios).

Es esta función la que es simétrica, lo que significa que el coeficiente se produce no depende de que el fin de alimentar a las diversas raíces. (Por otra parte el coeficiente de generación de funciones de las mismas son polinomios en varias variables).

Answer 3

Pero ese es el ingenio que revolucionó la teoría de la resolución de ecuaciones polinómicas - es la inversa de la situación habitual! Normalmente se nos ha dado un polinomio real y quiere encontrar sus raíces.

Sin embargo, eso no nos impide decidir que queremos ciertas raíces y preguntando, "¿Qué tipo de polinomio puedo escribir con estas raíces?" (Por cierto, preguntas como esta surgen naturalmente cuando estás escribiendo pruebas y exámenes para los estudiantes de la clase de álgebra aprendido años atrás!)

Supongamos que queremos una ecuación cuadrática con raíces $x = r_1$$x = r_2$. En este caso, cualquier cuadrática de la forma

$$p(x) = a(x - r_1)(x - r_2) = ax^2 -a(r_1 + r_2)x + ar_1r_2$$

tiene las raíces queremos, $r_1$$r_2$. Así que nuestro coeficientes de $x^2,\, x,$ $1$ son, respectivamente,

• $a$ (que es completamente independiente tanto de la $r_1$$r_2$; podríamos intercambiarlos, y que no cambiaría $a$)

• $-a(r_1 + r_2)$ , lo que de nuevo se mantiene invariante bajo permuting las dos raíces, y

• $ar_1r_2$, la otra función de $r_1$$r_2$, que no depende de cual es cual.

Este es un ejemplo de la clase de cosas que significan.

Answer 4

Vamos a introducir un poco de la notación primero: vamos a $f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ donde cada una de las $a_i \in \mathbb{C}$ (si el coeficiente de $x^n$ no $1$, el factor de la polinomio). Entonces el teorema fundamental del álgebra nos dice que $f$ $n$ (no necesariamente distintos raíces) $\omega_1,\ldots,\omega_n$. Luego también podemos escribir $f(x) = (x - \omega_1)(x - \omega_2)\cdots (x - \omega_n)$. Si multiplicamos esta todo e igualar los coeficientes, podemos expresar cada una de las $a_i$ en términos de las raíces; en este sentido, el $a_i$'s son funciones de las raíces, y podemos escribir $a_i(\omega_1,\ldots,\omega_n)$. Si se va a multiplicar, esto $a_i$ va a ser un polinomio en $n$ variables

Ahora, dada una función de $n$ variables $g(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, podemos decir que el $g$ es una función simétrica iff $g(x_1,x_2,\ldots,x_n) = g(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\ldots,x_{\sigma(n)})$ por cada $\sigma \in S_n$. Es decir, $g$ es una función simétrica si podemos permutar las variables sin cambio de la función. Vemos entonces que el $a_i$'s puede ser visto como simétrica de las funciones de las raíces en que podemos permutar el orden de las raíces sin cambiar los coeficientes. Es decir, la función $a_i(\omega_1,\ldots,\omega_n)$ es un polinomio simétrico en $n$ variables.

Answer 5

Considerar una cuadráticas polinómicas con raíces $r_1$ y $r_2$. Si expande $(x-r_1)(x-r_2)=x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2$ se puede ver que los coeficientes de esta cuadrática son relacionados con sus raíces en una forma que es independiente del orden en el cual lista las raíces. Del mismo modo, para una cúbica, sus coeficientes son $-(r_1+r_2+r_3)$, $(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)$ y $-(r_1r_2r_3)$. Estos valores, también son claramente independientes de la orden en el cual lista las tres raíces. Este tipo de simetría tiene para los polinomios de mayor grado así.