Supongamos que tenemos una esfera de radio $r$ y masa m y una partícula de prueba cargada negativamente a una distancia d de su centro, $d\gg r$. Si la esfera es electricamente neutral, la partícula caerá hacia la esfera debido a la gravedad. A medida que depositamos electrones en la superficie de la esfera, la fuerza de Coulomb superará a la gravedad y la partícula de prueba comenzará a acelerar hacia afuera. Ahora supongamos que seguimos agregando incluso más electrones a la esfera. Si tenemos n electrones, la distribución de sus distancias entre pares tiene una media proporcional a $r$, y hay $n(n-1)/2$ tales pares, por lo que la energía de unión es aproximadamente $n^2/r$. Si este término se incluye en la masa-energía total de la esfera, la fuerza gravitatoria sobre la partícula de prueba parecería estar aumentando cuadráticamente con $n$, y por lo tanto eventualmente superaría a la fuerza de Coulomb que aumenta linealmente. La partícula se ralentiza, da la vuelta y comienza a caer de nuevo. Esto parece absurdo; ¿qué hay de malo en este análisis?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Como respuesta de lluvia de ideas, calculemos la energía de enlace de otra manera:
supongamos que tenemos N electrones en la esfera, la energía electrostática para traer un nuevo electrón a la esfera es $Ne/R$. Si agregamos un nuevo electrón, solo el potencial electrostático neto $Ne/R$.
el potencial neto en electrones lejanos es
$N( e - m_{e} G )/R$
lo que en realidad es cuadrático en $N$ es la energía necesaria para unir N electrones en la esfera, en realidad es
$e/R + 2e/R + ... Ne/R = N(N-1)e/2R$
Esto también contribuye al peso gravitacional, pero habrá una capacidad máxima donde los electrones escaparán de la esfera
La capacitancia de una esfera está dada por $4 \pi \epsilon R$. Entonces, en este caso, la energía de enlace está limitada por la capacitancia del conductor utilizado para su esfera
La afirmación de que la atracción gravitatoria eventualmente dominará la repulsión de Coulomb a medida que n aumenta es correcta. Probablemente pienses que la masa en reposo de los electrones invocará atracción gravitatoria, pero esa parte es despreciable para densidades electrónicas altas en la esfera. La atracción gravitatoria por (la curvatura del espacio-tiempo causada por) la energía de enlace es mucho mayor para densidades altas.
No sé dónde está el punto de quiebre, pero supongamos que miro mucho más allá de ese límite, es decir, una esfera (o capa) increíblemente densa de electrones. Si la hago lo suficientemente densa, eso bien podría convertirse en un agujero negro. Hay que tener en cuenta que este sería un agujero negro extraño, ya que la 'masa' de dicho agujero negro consiste casi por completo de la energía de enlace, y no de las masas en reposo de los electrones. Desde este punto de vista, podría ser más fácil imaginar que la atracción gravitatoria eventualmente dominará.
La masa gravitacional pasiva del electrón es, por experimento, menos del 9% del valor teórico esperado, como se puede ver en mi respuesta en esta pregunta.
El resultado fue tan inesperado que nadie creyó en la corrección del resultado. Creo que la masa gravitacional activa del electrón también será del mismo orden (o cero).
Una bonita teoría podría colapsar por un solo experimento.
Estoy muy impresionado: Casi ninguna pregunta no incluye el Agujero Negro en la respuesta. Puede ser el caso que atraigan votos positivos. En este sitio ya hay 2000 referencias a este término.
