¿Por qué es el concepto de topos de una "metamorfosis" del concepto de espacio?

Question

Hola,

Recientemente comencé a estudiar teoría de topos, y estoy desconcertado por la reclamación de Grothendieck que topos es una "metamorfosis" del concepto de espacio. ¿Puede alguien explicar lo que él significa por esto?

Gracias, Alexander

Answer 1

Si usted tiene un espacio, se puede considerar que la categoría de las poleas de los conjuntos en el espacio; el último es un topos (el ejemplo arquetípico de la misma). Ya que las poleas son: (a) muy flexible; y (b) muy en sintonía con la topología de la base del espacio, el topos, recuerda a una gran cantidad de información sobre el espacio. Por lo tanto, olvidar el espacio, sino recordar los topos, mientras que de ser tal vez un cambio radical de perspectiva, no es realmente abandonar la idea de un espacio, pero es exactamente tan solo cambiando queridos perspectiva sobre lo que es un espacio.

Por lo tanto, pasar al estudio de los topoi del estudio de los espacios es sólo un paso más en una (muy) larga tradición matemática de estudiar la naturaleza de la forma y el espacio.

(Algo más sin rodeos, uno podría argumentar que cada pregunta acerca de un espacio que se quiere estudiar es encapsulado en alguna manera gavilla-teóricamente, y para recordar la topos, precisamente, recuerda todo lo interesante sobre el espacio; por lo tanto, uno metamorphising el concepto de espacio de tal manera como para recordar precisly lo que es interesante, y eliminar de la consideración de todo lo que es superfluo.)

Answer 2

En sentido, un haz sobre un espacio es 'representación' del espacio. Algo similar a un módulo es una representación de un anillo. Por lo tanto, una categoría (topos) de poleas sobre un espacio juega el mismo papel la categoría de juego de módulos sobre un anillo. Así como dos anillos de nonisomorphic pueden tener categorías módulo equivalente, dos espacios no homemorphic pueden tener toposes equivalente de poleas. (Como arriba, en el caso de espacios 'sobrios', tal no es el caso.)

Answer 3

Las respuestas ya siempre son muy buenos e informativos, por lo que sólo quiero agregar algo sobre la "metamorfosis" de la noción de espacio de que Grothendieck habla en Semailles.

Cada espacio tiene sus asociados topos, pero hay topoi que NO son espaciales. Puede definir categóricamente la noción de punto de un topos, y esta definición corresponde a la noción habitual de puntos cuando se restringe a los topoi.

Ahora, el hecho de que hay un montón de topoi con los puntos no significa básicamente que uno puede hacer topología en un inútil mundo: todavía se puede definir formalmente las nociones de compacidad, revestimientos, y así como la mayoría de la norma topológico (e incluso homotopical), la maquinaria, directamente en un determinado lugar, sin importar el hecho de tener puntos o no.

Pues resulta que, el paso de un punto a a-establecer el sentido de la topología no es sólo un ocioso juego: por ejemplo, en la física en el Planck nivel, usted todavía puede querer hablar de topológicos y las propiedades geométricas del espacio-tiempo, y, sin embargo, usted no tiene bien definidos los puntos.

Answer 4

Estoy de acuerdo con dos respuestas ya dadas. Proporcionar algunos detalles más en respuesta a una pregunta similar aquí: ¿Qué es un topos?