Si $\sup_n\int_E f_n(x)\ \mathsf dx\leq M\mu(E)$ entonces la medida del $\{x\in [0,\infty)\mid f(x)>M\}=0$.

Question

Esta pregunta surgió cuando estudiaba para un análisis de calificación de examen:

Supongamos que $f_n\geq 0$ % todo $n\geq 1$, $f_n\rightarrow f$ a.e. en $[0,\infty)$ y existe $M>0$ tal que $$\sup_n\int_E f_n(x)\ \mathsf dx\leq M\mu(E)$$ for every measurable set $E\subset [0,\infty)$ with $\mu(E) > 0$. Then $\mu\{x\in [0, \infty)\mid f(x)>M\}=0$. ($\mu$ denotes Lebesgue measure on $\mathbb{R}$.)

He estado intentando hacer algo con la desigualdad de Chebyshev, pero no estoy seguro de que estoy en el camino correcto. Le agradeceria cualquier punteros. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Deje $X=\{x\in [0,\infty): f(x)>M\}$. Supongamos $\mu(X)>0$. Como @zhw. notas, Fatou del Lema implica

$$\int_X f\leq \liminf_{n\to\infty}\int_X f_n\leq \limsup_{n\to\infty} \int_X f_n\leq M\mu(X)$$However, by definition, $\int_X f>M\int_X=M\mu(X)$. Combining these gives $M\mu(X)<M\mu(X)$, or $M<M$. Contradiction. So $\mu(X)=0$.

Edit: Esto es para el caso de $\mu(X)<\infty$.Tenemos que tratar el argumento de $\mu(X)=\infty$ por separado.

Si $f\in L^1$, entonces no hay que preocuparse por esto, ya que $\int_X f>M\mu(X)$ implica $\int f=\infty$, lo que contradice $f\in L^1$. Trabajará en una prueba o contraejemplo para $f\not\in L^1$.

Edit 2: Como se mencionó en los comentarios, puede escribir $X=\cup_{m=1}^{\infty} X_m$$\mu(X_m)<\infty$. Simplemente ignorar los $X_m$ medida $0$ y puede suponerse $0<\mu(X_m)<\infty$. El argumento anterior aún se mantiene (desde $X_m\subset X$, $f>M$ en $X_m$) implica que $\mu(X_m)=0$ todos los $m$, lo $$\mu(X)=\mu(\cup_{m=1}^{\infty} X_m)\leq \sum_{m=1}^{\infty}\mu(X_m)=0$$

Answer 2

Sugerencia: Lema de uso Fatou ver $\int_E f\,d\mu \le M\mu (E).$