Que $x,y,z\ge 0$, si presentan un $x+y+z=3$, que $$\dfrac{1}{\sqrt{x^2+xy+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{y^2+yz+z^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{z^2+zx+x^2}}\ge \dfrac{12+2\sqrt{3}}{9}$ $ utilizando esta desigualdad: $$\left(\sum_{cyc}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+xy+y^2}}\right)\cdot\left(\sum_{cyc}\sqrt{x^2+xy+y^2}\right)\ge 9$ $ es suficiente para ver que $$\dfrac{9}{\sum_{cyc}\sqrt{x^2+xy+y^2}}\ge \dfrac{12+2\sqrt{3}}{9}$ $ y no puedo ir más lejos. No observador algo, solo encuentro esta desigualdad $=$iff $x=y,z=0$
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user26837
Puntos
1
Deje $g(u,v)=u^{2}+v^{2}+uv$. Deje $f(x,y,z)=g^{-\frac{1}{2}}(x,y)+g^{-\frac{1}{2}}(x,z)+g^{-\frac{1}{2}}(y,z)$ que simplemente describe las sumas que le interesa.
La idea básica aquí es que se minimiza la función de $f(x,y,z)$ limitado a $x+y+z=3$ y muestran que el mínimo absoluto es, precisamente,$\frac{12+2\sqrt{3}}{9}$.
Así que simplemente calcular un parcial,
$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac{\partial f}{\partial x} = -(\frac{x+\frac{y}{2}}{g^{\frac{3}{2}}(x,y)}+\frac{x+\frac{z}{2}}{g^{\frac{3}{2}}(x,z)})$
Ahora ya estamos confinados a $x,y\geq0$, sabemos que el término de la izquierda y de la derecha plazo son positivas semi-definida, por lo que la expresión (por los menos en el frente) es negativo semi definida. Por lo tanto para esta derivada parcial a ser igual a 0, debe ser que $x=y=z=0$. Pero esto no puede suceder porque esto implicaría que $x+y+z=0\neq3$. Un extremo local debe tener todos los parciales iguales a cero, por lo que claramente que no puede suceder si $\frac{\partial f}{\partial x}\neq 0$ (y de hecho, por la simetría de la función, se obtendría la misma contradicción para el resto de parciales). Por lo tanto, los únicos puntos críticos dentro de esta región, debe recaer en la frontera de la región definida por $x+y+z=3$. Estas son las tres líneas definidas por \begin{align*} z=0, y=3-x, x\in[0,3] \end{align*} \begin{align*} y=0, z=3-x, x\in[0,3] \end{align*} \begin{align*} x=0, z=3-y, y\in[0,3] \end{align*}
De nuevo, por la simetría, sólo voy a mirar una de estas líneas, específicamente $z=0, y=3-x$. Por lo tanto ahora estamos mirando en uno tridimensional de la función $h(x)=f(x, 3-x, 0)$, que a través de algunos de simplicación conduce a $h(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{3-x}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-3x+9}}$. A partir de aquí, tratamos de encontrar extrema para $h(x)$, y voy a omitir el cómputo de los detalles de teh derivados. Si usted toma un derivado, se puede ver fácilmente que $\frac{3}{2}$ es una solución para hacer que los $h'(x)=0$. A continuación, cuando se compute $h''(x)$, usted verá que es positiva definida, lo que significa $h'(x)$ es estrictamente creciente, por lo $x=\frac{3}{2}$ es la ÚNICA solución a $h'(x)=0$. Ahora desde $h''(x)$ es estrictamente positivo, ahora sabemos que el mínimo ABSOLUTO en esta línea debe ser de al $\frac{3}{2}$, y la nota que $h(\frac{3}{2}$)=$\frac{12+2\sqrt{3}}{9}$. Por lo tanto por el argumento anterior, ya que es una absoluta min en el límite, es una absoluta min en toda la superficie. Usted puede comprobar por sí mismo que las otras dos partes de la frontera te dan exactamente el mismo resultado. Por lo tanto, por definición, de mínimo absoluto, el resultado que quería que ha sido probado.
