Es $\mathbb{R}$ un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ ?

Question

¿Es correcto decir que $\mathbb{R}$ es un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ ? O, dicho de forma más general, dado $n,m\in\mathbb{N}$ , $n<m$ es $\mathbb{R}^n$ un subconjunto de $\mathbb{R}^m$ ?

Además, estrictamente relacionado con esto: ¿cuál es entonces la "relación" entre el conjunto $\{(x,0)\in\mathbb{R}^2,x\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}$ ? ¿Coinciden (yo diría que no)? Como espacios vectoriales, ¿tienen la misma dimensión (yo diría que sí)?

Si pudieras darme un libro de referencia para este tipo de cosas, te lo agradecería mucho.

Muchas gracias de antemano.

(Por favor, corrija las etiquetas si no son apropiadas)

Answer 1

No es realmente cierto que $\mathbb R^n$ es un subconjunto de $\mathbb R^m$ cuando $n<m$ . Es cierto que existe un subespacio de $\mathbb R^m$ que es isomorfo a $\mathbb R^n$ pero, por desgracia, hay demasiados, y no hay manera real de elegir uno de ellos de manera útil como "la incrustación obvia".

Un ejemplo sencillo cuando $n=1$ y $m=2$ es que el $x-$ y $y-$ son ambos incrustaciones de $\mathbb R^1$ en $\mathbb R^2$ y no hay una forma "natural" de elegir entre estas incrustaciones (o cualquier otra incrustación del enlace real en $\mathbb R^2$ .)

Answer 2

Yo no diría eso, aunque cada subespacio ondimensional de $\mathbb{R}^n$ es isomorfo a $\mathbb{R}$ pero no hay una incrustación natural.

Pero una cosa más o menos divertida es que, aunque casi todo el mundo diga que $\mathbb{R}\not\subset\mathbb{R}^2$ muchos matemáticos dicen que $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ aunque hay una transformación canocial de $\mathbb{C}$ a $\mathbb{R}^2$ .

Supongo que alguna vez uno se detiene a distinguir a menudo entre cosas que son isomorfas pero no iguales.

Answer 3

Estrictamente hablando, $\mathbb R$ no es un subconjunto de $\mathbb R^2$ .

Sin embargo, dependiendo de cómo construir sus sistemas numéricos El número natural $1$ es diferente del número racional $1$ y ambos son distintos del número real $1$ . Y no me hagas hablar de los números complejos ni de los cuaterniones.

Este tipo de imprecisión nos permite hablar realmente de los objetos en cuestión sin preocuparnos demasiado por los detalles auxiliares. $\mathbb{R}$ se puede incrustar claramente en $\mathbb{R}^2$ preservar prácticamente cualquier propiedad de $\mathbb{R}$ en el proceso. Una vez que se ha comprendido esto, la licencia lingüística no es demasiado perjudicial para el rigor.