Un problema de clasificación de los subconjuntos en$\Bbb{Z} \times \Bbb{Z}$ que se comportan como números impares cuando se consideran en$\Bbb Z$

Question

Clasifique todos los subconjuntos$S$ del conjunto de producto cartesiano de enteros$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ tal que: Si$x$ está en$S$ también$-x$; si$S$ y$x$ están en$y$, entonces$S$ está en complemento de% y$x+ y$ está en el complemento de$S$ entonces$x$ está en S.

Answer 1

Los subconjuntos $S \subseteq \Bbb Z \times \Bbb Z$ que suficiente

1. $x \in S \Rightarrow -x \in S$
2. $x,y \in S \Rightarrow x+y \not \in S$
3. $x \in S, y \not \in S \Rightarrow x+y \in S$.

son exactamente el conjunto vacío y el de los complementos de los subgrupos de índice$2$$\Bbb Z \times \Bbb Z$:

Deje $S$ suficiente todas las propiedades. Nos muestran que la complementan $A:=S^c$ es un subgrupo aditivo:

• supongamos $0 \in S$, $0 = 0+0 \not \in S$ 2, una contradicción. Por lo $0 \in A$.
• Deje $x \in A$. Supongamos $-x \in S$, $x = -(-x) \in S$ 1, una contradicción. Por lo tanto $-x \in A$.
• Deje $x,y \in A$. A continuación, $x= (x+y)+(-y) \in A$ y $-y \in A$ concluimos 3 que $x+y \in A$.

Además por 2 sabemos que en el cociente $\Bbb Z \times \Bbb Z /S^c$, lo cual está bien definido como $S^c$ es un grupo, la suma de los dos no trivial elementos es $0$. Como esto implica que cualquiera de los dos no trivial elementos son inversos el uno al otro y inversos se determina únicamente, tenemos $\Bbb Z \times \Bbb Z /S^c = \Bbb Z /2 \Bbb Z$ o $\Bbb Z \times \Bbb Z /S^c = 0$, lo $S^c$ es de índice $1$ o $2$.

Por otro lado, cualquier complemento de un subgrupo de $\Bbb Z \times \Bbb Z$ es suficiente 1 y 3 y si su índice es $1$ o $2$, la segunda condición que se mantiene así.

Answer 2

Si definimos "$+$ " $\Bbb Z \times \Bbb Z$ $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ $(\Bbb Z \times \Bbb Z,+)$ es un grupo.

Lema 1: Si satisfacen las condiciones de $(1)$ $(2)$ $S^c$ es un subgrupo de $\Bbb Z \times \Bbb Z$. (@benh ya lo demostró.)

Así que tiene que buscar en los complementos de los subgrupos de $\Bbb Z \times \Bbb Z$ que satisfacen las $(2^{nd})$ condición.

Lema 2: Si $m\Bbb Z \times n\Bbb Z$ es un subgrupo de $\Bbb Z \times \Bbb Z$ que su complemento satisface la segunda condición, a continuación, su índice en $\Bbb Z \times \Bbb Z$ $1$ o $2$. (@benh ya lo demostró.)

Lema 3: Para cualquier $m,n\in\Bbb N$, la función de $f:\Bbb Z_{mn}\rightarrow\frac{{\Bbb Z \times \Bbb Z}}{{m\Bbb Z \times n\Bbb Z}}$, definido por $f(x)=x+m\Bbb Z \times n\Bbb Z$. es un isomorfismo, entonces $$[\Bbb Z \times \Bbb Z:m\Bbb Z \times n\Bbb Z]=mn.$$

Teorema: La única subconjuntos $S$ $\Bbb Z \times \Bbb Z$ que satisfacen los tres requisitos son, $$(\Bbb Z \times \Bbb Z)^c=\emptyset,(2\Bbb Z \times \Bbb Z)^c,(\Bbb Z \times 2\Bbb Z)^c.$$

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Parece que @Nate en su comentario menciona la respuesta dentro de muy poco!

Answer 3

Tenemos tres reglas:

• $x\in S \implies -x\in S$
• $x\in S,y\in S \implies x+y\notin S$
• $x\in S, y\notin S \implies x+y\in S$

Podemos inferir algunos atributos, como:

• $0 \notin S$, ya que tanto $x$$-x$$S$$0=x+(-x)$. También, de lo contrario $0+y$ $y$ debe ser en diferentes grupos.
• $x\in S \implies x+x=2x\notin S$
• $x\in S \implies x+2x=3x \in S$
• En general, para cualquier entero $n$, $2nx\in S$ y $(2n+1)x\notin S$.
• por último, si usted tiene $\{x_1,x_2,...,x_n\}$ S, $\sum a_ix_i$ es en S iff $\sum a_i$ es impar.

Por lo que cualquier subconjunto de S tal que se define por una "base" $\{x_1,x_2,...,x_n\}$. La base necesita ser lineary independiente sobre $Z$, o será contradicción o no un mínimo. Infinito base también es posible.

La prueba de que todos 3 los axiomas se tiene:

• $x\in S \implies x=\sum a_i*x_i, \sum a_i \space odd \implies -x=\sum (-a_i)*x_i, \sum (-a_i) \space odd \implies-x\in S$
• $x\in S,s\S \\ \implica x=\sum a_i*x_i, \sum a_i \espacio extraño, y=\sum b_i*x_i, \sum b_i espacio \impar \\ \implica que x+y=\sum(a_i+b_i)x_i, \sum(a_i+b_i)=(\sum a_i+\sum b_i) espacio\, incluso\\ \implica x+y\noen S$
• otra prueba similar para la tercera propiedad.