Espacio de Sobolev y equivalencia de normas

Question

Estoy considerando el espacio $W\{n,p\}[0,1]$ de las funciones con $n-1$ continuo derivados $f^{(n-1)}$ es absolutamente continua y $f^{(n)}$$L^p[0,1]$. La norma habitual es la suma de los $p$-normas de cada uno de los derivados de $1$ $n$e las $p$ norma de la función.

Ahora solo piensa en los $p$ norma de la función + $p$ norma de la $n^{th}$ derivado, es decir,$(\int |f(x)|^p)^{1/p}$ + $(\int |f^{(n)}|^p)^{1/p}$ quiero mostrar que esto es equivalente a la norma habitual definido anteriormente.

Esto requiere encontrar constantes positivas y aprisionando esta nueva norma. En una dirección es obvio, ya que la nueva norma es menor que el habitual de la norma para cada $x$, decir $\|x\|_2 \leq \|x\|_1$. No estoy seguro de cómo mostrar la otra dirección.

Answer 1

Por el teorema fundamental del cálculo,$f^{(k)}(x) = \int_0^x f^{(n+1)}(y) dy$. Así, la desigualdad integral de Minkowski nos dice que$$||f^{k}||_{L^p} = [\int_0^1 (\int_0^x f^{(k+1)}(y) dy)^p]^{1/p}$ $ Ahora vemos por inducción que$$ [\int_0^1 (\int_0^x f^{(k+1)}(y) dy)^p]^{1/p} \leq \int_0^1 (\int_0^x |f^{(k+1)}(y)|^{p} dy)^{1/p}dx \leq ||f^{(k+1)}||_{L^p}$ $ Así que la equivalencia de la norma sigue fácilmente. Tenga en cuenta que los cálculos aquí son mucho más fáciles porque el espacio de medida total es 1, ya que estamos trabajando en [0,1].