Estructura Gavilla del espectro de un anillo

Question

Deje $A$ ser un anillo y $X$ ser el espectro de $A$ con la topología de Zariski. Para un elemento $f\in A$ deje $X_f:=\{p\subset A\text{ prime ideal }\,|\,f\notin p\}$; el $X_f$ formulario de una base de la topología en $X$. Por último vamos a $\mathcal{O}$ ser la estructura de la gavilla de $X$ (una gavilla o anillos).

Me las he arreglado para mostrar que el tallo de $\mathcal{O}$ $\mathfrak{p}\in X$ es isomorfo al anillo local $A_{\mathfrak{p}}$. Lo que estoy tratando de entender, aunque es el siguiente:

Pregunta 1: Para $f\in A$ el anillo de $\mathcal{O}(X_f)$ es isomorfo a la localizada anillo de $A_f$. Por qué?

Deje $\mathfrak{N}$ ser el nilradical de $A$. Sé que los espectros de $A$ $A/\mathfrak{N}$ son homeomórficos, pero tengo problemas para responder a esta:

Pregunta 2: ¿la estructura de las poleas de los espectros de $A$ $A/\mathfrak{N}$ el mismo?

Estoy muy agradecido por las sugerencias, referencias o la totalidad de las respuestas.

Answer 1

La pregunta 1 se hace en Hartshorne, proposición 2.2 en las páginas 71-72, como mencionó rafaelm. Dylan tiene razón en el primer paso de la prueba. La sobrejectividad es más difícil.

La pregunta 2 no es cierta, como observó Andrea. Para simplificar, tomar cualquier anillo con nilradical distinto de cero, es decir, un anillo no reducido, por ejemplo$A=k[X,Y]/(X^2)$. Entonces $A/nil(A)=A/(\bar{X})=k[Y] \neq A$. Entonces$\mathcal O_X \neq \mathcal O_{X_{red}}$, donde$X=Spec ~A$ y$X_{red}=Spec ~(A/nil(A))$, porque$\mathcal O_X(X) = A$ y$\mathcal O_{X_{red}}(X)=k[Y]$.