Acerca de 0.999... = 1

Question

He acaba de pasar a leer esta pregunta en MO (que por supuesto ha sido cerrado) y algunas de las respuestas a semejante pregunta sobre el MSE.

Sé casi nada de análisis no estándar y preguntaba si algo así como la frase "$1- 0.999 \dots$ es un valor distinto de cero positivo infinitesimal" podría ser fácilmente expresado y demostrado en el análisis no estándar.

Primero de todo, ¿qué es 0.999... ? Si tomamos la definición habitual como una serie o como un límite de una sucesión de racionales, luego de que seguirá siendo un número real e igual a $1$ (supongo que por "transferencia de principio", pero por favor me corrija si estoy equivocado).

En su lugar, vamos a definir

$$0.9_N:=\sum_{i=1}^N 9\cdot 10^{-i} $$

donde $N\in{}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$ es un infinito no estándar número natural. Esta $0.9_N$ es legítimo el elemento de ${}^*\mathbb{R}$, expresado como$0.$, seguido por un número infinito de "$9$" dígitos.

¿Qué se puede decir acerca de la $\epsilon_N:=1-0.9_N$ ? Hay una escuela primaria prueba de que $\epsilon_N$ es positivo infinitesimal de ${}^*\mathbb{R}$ ? (por "elemental" me refiero solo a pedido y de campo axiomas y la intuitiva hechos acerca de infinitesimals, al igual que para $x$ infinite $1/x$ es infinitesimal, etc.; no nonprincipal ultrafilters & C).

Answer 1

Podemos utilizar la serie geométrica de la fórmula:

$$0.9_N = \sum_{i=1}^N 9 \cdot 10^{-i} = 9 \cdot 10^{-1} \cdot \frac{1 - 10^{-N}}{1 - 10^{-1}} = (1 - 10^{-N})$$

Desde $N$ es infinito, $\epsilon_N = 10^{-N} = 1 / 10^N$ es infinitesimal.

Answer 2

$$1-\sum_{k=1}^N9\cdot10^{-k}=\sum_{k\ge N+1}9\cdot 10^{-k}=9\sum_{k\ge N+1}10^{-k}=\frac{9\cdot 10^{-(N+1)}}{1-10^{-1}}=10^{-N}=\frac1{10^N}\;,$$

lo que sin duda es intuitivamente positivo infinitesimal.

Añadido: no Hay un buen primaria axiomatization de la hyperreals en Jerry Keisler del Elementales de Cálculo: Un infinitesimal enfoque, que está disponible gratuitamente aquí; está destinado a estudiantes de un primer curso de cálculo y cuidadosamente evita la transferencia de principio como tal. Sus Bases de cálculo infinitesimal contiene un poco más sofisticada versión, ya que está destinado a instructores a través de la licenciatura de texto. Es libremente disponible aquí, y su versión de la axiomática de desarrollo también se pueden encontrar en la Sección $15$ de este PDF. Lo que él llama la Función Axioma (Axioma $C$ en el PDF) justifica el cálculo estándar:

Para cada función real $f$ $n$ variables existe una correspondiente hyperreal función de ${}^*f$ $n$ las variables, llamadas a la extensión natural de $f$.

La función en cuestión aquí es la función que lleva a $n$$\sum_{k=1}^n9\cdot10^{-k}$.

Una versión ligeramente distinta de este enfoque se encuentra en el Keith Stroyan notas aquí, especialmente la Sección $2.3$.

Answer 3

Además de la multa respuestas dadas anteriormente, me gustaría mencionar también algo héroe anónimo, A. H. piedra de luz, y su notación decimal en el que su infinitesimal $\epsilon_N$ puede ser escrito como $0.000\ldots;\ldots 0001$, donde el primer dígito distinto de cero se produce precisamente en el infinito rango de $N$. La notación se explica en su artículo en el American Mathematical Monthly aquí: http://www.jstor.org/stable/2316619?origin=crossref (véase, en especial, página 246).