¿Qué es la matemática? Una respuesta es que las matemáticas es una colección de definiciones, teoremas y pruebas de ellos. Pero el más realista answr es que las matemáticas es lo que los matemáticos hacen. (Y en parte, eso es una actividad social.) El progreso en matemáticas consiste en avanzar el entendimiento humano de las matemáticas.
¿Qué es una prueba? A menudo se pretende que la razón de la prueba es por lo que podemos estar seguros de que el resultado es cierto. Pero en realidad lo que los matemáticos se busca es la comprensión.
Animo a todos a leer el artículo Sobre la Prueba y el Progreso en Matemáticas por la Medallista Fields William Thurston. Él dice (en la página 2):
El rápido avance de las computadoras ha ayudado a dramatizar este punto, debido a que los equipos y las personas son muy diferentes. Por ejemplo, cuando Appel y Haken completado una prueba de la 4-mapa de color teorema usando una enorme automático de cálculo, esto ha provocado mucha controversia. Yo interpreto la controversia, ya que poco tienen que ver con la duda de la gente en cuanto a la veracidad del teorema o la corrección de la prueba. Más bien, refleja un deseo continuo para el entendimiento humano de una prueba, en adición a los conocimientos que el teorema es verdadero.
En un mayor nivel cotidiano, es común que la gente se empieza a lidiar
con los equipos para hacer a gran escala de los cálculos de cosas que pudieron haber
hecho en una escala más pequeña con la mano. Se puede imprimir una tabla de la primera
10,000 números primos, sólo para encontrar que su impresión no es algo que realmente
quería, después de todo. Descubren por esta clase de experiencia que lo que
realmente quiero es que normalmente no una colección de "respuestas"-lo que quieren es
comprensión.
Algunas personas pueden decir que no hay duda acerca de una prueba cuando se ha demostrado por el equipo, pero creo humanos de las pruebas tienen más margen para el error. El verdadero problema es que el (largo) equipo de pruebas (en contraposición a, por algo tan simple como la comprobación de un valor numérico por calculadora) son difíciles de mantener en su cabeza.
Comparar estas citas de Gian-Carlo Rota Indiscreta Pensamientos, en donde describe los matemáticos " la búsqueda de la comprensión:
"al final todos los problemas matemáticos que se resultó trivial. La búsqueda de la máxima trivialidad es característico de la matemática de la empresa." (p.93)
"Cada teorema matemático es, finalmente, resultó trivial. El matemático del ideal de la verdad es la banalidad, y la comunidad de los matemáticos no dejará su beaver-como trabajo en un recién descubierto resultado hasta que se haya demostrado a satisfacción de todos, que todas las dificultades en las primeras pruebas eran falsas, y sólo una analítica, la trivialidad se encuentra al final de la carretera". (p. 118, en la Fenomenología de La Matemática de la Verdad)
Hay pruebas definitivas?
Es un artículo de fe entre los matemáticos que, después de un nuevo teorema es descubierto, otras más simples pruebas de que se ha dado hasta el definitivo uno se encuentra. Una inspección superficial de la historia de las matemáticas, parece confirmar el matemático de la fe. La primera prueba de un gran número de teoremas es innecesariamente complicado. "Nadie echa la culpa a un matemático si la primera prueba de un nuevo teorema es torpe", dijo Paul Erdős. Toma un tiempo largo, de un par de décadas a siglos, antes de que los hechos que se ocultan en la primera prueba se entiende, como los matemáticos de manera informal de decir. Este gradual sacar de la importancia de un nuevo descubrimiento adquiere la apariencia de una sucesión de pruebas, cada una más sencilla que la anterior. Nuevo y sencillo versiones de un teorema se dejan de aparecer cuando los hechos son los que finalmente entendió. (p.146, en la Fenomenología de La demostración Matemática).
En mi opinión, no hay nada de malo, o dudosa, una prueba que se basa en equipo. Sin embargo, dicha prueba está en la etapa intermedia se describe arriba, que aún no ha sido dictada trivial suficiente para ser celebrada en un matemático a la cabeza, y por lo tanto el teorema está demostrado es ser considerado todavía un trabajo en progreso.
