¿Por qué una ecuación lineal con tres variables es un plano?

Question

En álgebra lineal, ¿por qué la gráfica de una de tres variables de la ecuación de la forma $ax+by+cz+d=0$ un avión? Con dos variables, es fácil convencer a sí mismo que la gráfica es una línea (usando triángulos semejantes, por ejemplo). Sin embargo, con tres variables, esta misma técnica no parece funcionar: la configuración de una de las variables a ser una constante de los rendimientos de una línea en el espacio 3-D (creo), y uno podría repetir este proceso para cada valor constante de la variable, pero al final no, no parece ser una manera fácil de comprobar que todas estas líneas son coplanares.

No recuerdo a ver por qué esto es en un libro, y Khan Academy del video, por ejemplo, simplemente indica que este es el caso.

Answer 1

Fijar un punto de $(x_0,y_0,z_0)$ satisfacer la ecuación, por lo $ax_0+by_0+cz_0=-d$.

Deje $(x,y,z)$ ser un punto en el espacio. A continuación, $(x,y,z)$ satisface la ecuación iff $ax+by+cz=-d=ax_0+by_0+cz_0$, es decir, iff $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$.

Deje $\vec r=(a,b,c)$. Entonces estamos diciendo que $(x,y,z)$ satisface la ecuación iff $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ es un vector ortogonal a $\vec r$. Para cualquier vector $\vec r$, el conjunto de vectores es un plano que pasa por el origen, se $\Pi$.

A continuación, $(x,y,z)$ satisface la ecuación iff pertenece a la traducción de el avión $\Pi$ por el vector $(x_0,y_0,z_0)$. Pero, por supuesto, la traducción de un avión es de nuevo un avión.

Answer 2

Observe la ecuación como un producto punto o producto interior:

$$ \ left [\begin{array}{ccc} a & b & c \end {array} \ derecha] \ left [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end {array} \ right] = -d. $$

Entonces está claro que el punto$(x, y, z)$ que satisface la ecuación es cualquier punto en el plano que es perpendicular al vector $ \ left [\begin{array}{ccc} a & b & c \end {array} \ right]$ (this fixes its orientation) and is the right distance from the origin to yield a dot product of $ -d $.