¿El argumento de la Torre de Pisa de Galileo contradice la mecánica cuántica?

Question

(Mis preguntas están al final, pero puede que no signifiquen mucho sin la explicación de abajo).

Galileo argumentó que, dado que la masa de un objeto que cae siempre puede redistribuirse de forma que se aproxime asintóticamente a un conjunto de objetos que caen más pequeños, por ejemplo, unidos por cuerdas de luz, entonces las ecuaciones del movimiento de un objeto que cae en el vacío no pueden depender de su masa. Es decir, porque la dependencia de la masa llevaría a predicciones de movimiento paradójicas si en un caso se utilizara la masa total $m_\Sigma$ y en otra de las submasas asintóticamente libres $m_i$ se utilizaron como argumentos de la ecuación del movimiento. Así, por ejemplo, la ecuación de la velocidad instantánea de cualquier objeto que cae en el vacío no incluye la masa como parámetro significativo:

$v_i=\sqrt{2gd}$

El argumento de Galileo era perspicaz, pero en gran medida tautológico. El problema es que las ecuaciones del movimiento de los objetos que caen a través de los fluidos, como la velocidad terminal, proporcionan una prueba de la existencia de ecuaciones de movimiento autoconsistentes con la masa como parámetro significativo puede se construya. Sin embargo, esta autoconsistencia sólo es posible si la distribución de la masa del objeto en el espacio también se convierte en un parámetro no trivial. Esta información adicional permite resolver las paradojas convirtiendo las predicciones de estado aparentemente inconsistentes en límites asintóticos de un continuo mayor de predicciones.

Por ejemplo, en mecánica de fluidos una masa $m_{\Sigma}$ se predice correctamente que tiene una velocidad terminal mayor que la misma masa configurada como dos esferas más pequeñas $m_1$ y $m_2$ unidos por una fina cuerda. Esta última forma es un ejemplo de cómo el comportamiento predicho de una sola esfera que cae puede acercarse asintóticamente a la predicción de dos esferas más pequeñas mediante la "transformación" lenta del objeto original en uno que se aproxime al caso de dos esferas más pequeñas.

Lo que Galileo realmente demostró, entonces, fue que como la evidencia experimental mostraba que la masa no era un parámetro relevante para las ecuaciones del movimiento de los objetos que caen en el vacío, entonces la distribución específica de la masa en cualquier objeto debe ser también irrelevante para esas ecuaciones.

Lo que Galileo nunca pudo saber es que existe un dominio de la física para el que su argumento es muy relevante: la física cuántica.

La longitud de onda de Broglie $\lambda=h/p $ de un objeto que cae a velocidades modestas en el vacío es una función de su momento instantáneo $p_i=mv_i$ Así que..:

$\lambda_i=\frac{h}{mv_i}=\frac{h}{m \sqrt{2gd}}=\frac{h}{m}\sqrt{\frac{1}{2gd}}$

Aunque no es una ecuación de movimiento, esta ecuación viola el argumento de Galileo al predecir que la frecuencia de de Broglie de un objeto que cae en el vacío es en función de su masa. Como en el caso de la dinámica de los fluidos, la inclusión de la masa como parámetro significativo da lugar a predicciones paradójicas a menos que se tenga en cuenta también la configuración de la masa en el objeto.

En otras palabras, la longitud de onda de Broglie de un objeto debe depender necesariamente de su forma y de cómo se distribuye la masa dentro de ese objeto. El resultado se asemeja más a las resonancias acústicas de estado sólido en cuanto a complejidad que al simple parámetro de masa singular de las partículas puntuales aisladas en el espacio.

Por ejemplo, si $m_1=m_2=m$ y $m_\Sigma=m_1+m_2=2m$ En este caso, son relevantes tres ecuaciones de estado:

$\lambda_{\Sigma}=\lambda_{2m}=\frac{h}{2m}\sqrt{\frac{1}{2gd}}$

$\lambda_1= \lambda_m=\frac{h}{m}\sqrt{\frac{1}{2gd}}$

$\lambda_2= \lambda_m=\frac{h}{m}\sqrt{\frac{1}{2gd}}$

La autoconsistencia por sí sola argumenta que si estas ecuaciones son incluso aproximadamente correctas, entonces $\lambda_{2m}$ debe dominar cuando el $2m$ La masa toma la forma de un objeto esférico compacto. A la inversa, la reconfiguración de la $2m$ esfera en dos más pequeñas $m$ esferas unidas por un hilo delgado debería acercarse asintóticamente al caso de dos $m$ esferas, por lo que deberían estar dominadas por el $\lambda_m$ de la longitud de la onda.

Sin embargo, una sola longitud de onda no puede ser precisa en ninguno de los casos. En su lugar, debe haber un espectro de longitudes de onda e intensidades que depende en gran medida de las particularidades de cómo se distribuye y conecta la masa en el objeto. Por eso he mencionado antes que un modelo de ecuación preciso para predecir las longitudes de onda de Broglie para objetos no puntuales será necesariamente comparable en complejidad y sutileza a los modelos de resonancia en la física del estado sólido.

No veo fácilmente una salida a esto. El argumento de Galileo, aunque es en gran medida engañoso en el caso de las ecuaciones del movimiento de los objetos que caen en el vacío, es extraordinariamente relevante para la mecánica cuántica, donde parece decir que todo el concepto de "masa" requiere ser revisado si se va a utilizar de forma precisa y significativa. En cambio, un modelo correcto debería tener más parentesco con las ecuaciones del movimiento de los objetos que caen a través de un fluido, en el sentido de que ambos deben definir muy cuidadosamente cómo la distribución y la "conexión" de la masa afectan a las predicciones.

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Así que mis dos preguntas principales son:

1. ¿Existen actualmente modelos matemáticos de las longitudes de onda de De Broglie que superen la prueba de autoconsistencia galileana? Por ejemplo, ¿acaso están ocultas en los detalles matemáticos de fenómenos como los modelos cuánticos de vibración molecular? (Mi impresión es "no", pero ciertamente podría estar equivocado).

2. ¿Cuáles son las implicaciones de la física de partículas, si es que las hay, de que la masa cuántica dependa de la forma?

Answer 1

No existe ninguna contradicción entre la mecánica cuántica y el principio de equivalencia. Nunca ha existido tal contradicción. La teoría de cuerdas hace explícita la compatibilidad de los principios, pero para explicar la compatibilidad a nivel de la pregunta, no necesitamos realmente ningún argumento característico de las cuerdas. Así que las respuestas a las preguntas numeradas son

1. La mecánica cuántica con el potencial gravitatorio ha sido compatible con el principio de equivalencia desde el nacimiento de la mecánica cuántica.

2. La masa cuántica depende de la disposición interna de los objetos gracias a la relatividad especial $E=mc^2$ . Por ejemplo, todas las masas en la teoría de cuerdas se reducen a las diferentes energías de las cuerdas que vibran en la teoría de cuerdas. Pero esto es sólo relatividad especial; no hay ninguna "otra" dependencia de la masa, no hay ninguna amenaza para el principio de equivalencia que plantean los postulados básicos de la mecánica cuántica, así que mientras sienta correctamente a qué implicaciones se refiere el OP, no hay implicaciones.

El principio de equivalencia es como llamamos a la observación general de que todos los cuerpos masivos se aceleran con la misma aceleración en un campo gravitatorio determinado.

Incluso en la física clásica, el argumento de Galileo con las cuerdas finas es sólo una forma heurística de pensar en el problema. Sólo se aplicaría si todos los objetos estuvieran compuestos por los mismos pequeños cuerpos masivos o "átomos", con la misma masa $m$ y otros parámetros, que sólo están conectados por cuerdas delgadas. En tal caso, el principio de equivalencia podría ser una tautología.

Pero en una física más realista, los objetos están compuestos por diferentes átomos, con diferentes masas y otros parámetros, y las fuerzas simplemente no tienen que obedecer el principio de equivalencia a priori. En otras palabras, el parámetro $m$ en $F=ma$ no tiene que ser el mismo que el parámetro $m$ en $F=GMm/r^2$ . En el mundo real, la masa inercial y la masa gravitatoria son el mismo parámetro porque se cumple el principio de equivalencia, pero la teoría de Newton puede formularse con la misma naturalidad y refutar esta suposición, es decir, deja la suposición sin explicar. La relatividad general de Einstein explica el principio de equivalencia. Bueno, se construyó de forma que lo explica (en este sentido, "lo supone").

Los cuerpos más grandes tienen un mayor impulso y una mayor energía, y como la mecánica cuántica relaciona la energía/momento con la frecuencia/número de onda (la inversa de la longitud de onda), los objetos más grandes también tienen longitudes de onda más cortas y frecuencias más altas.

Pero estas frecuencias y números de onda no son en absoluto "patrones observables que podamos medir directamente" mediante las mediciones de las fases en puntos y momentos concretos. La frecuencia y el número de onda de De Broglie nos indican la rapidez con la que la fase de la función de onda -utilizando una convención simple particular para la fase- está cambiando en función del espacio y el tiempo. Pero la fase de la función de onda es no observable (y no es un observable en el sentido de un operador lineal en el espacio de Hilbert).

Sólo un ejemplo trivial. La mecánica cuántica no relativista utiliza la fórmula no relativista para la energía cinética $E_k=p^2/2m$ que está omitiendo completamente la energía latente $E=mc^2$ implicado por la relatividad especial. Pero eso no perjudica en nada la validez de la teoría porque la energía en la física no relativista puede ser desplazada aditivamente, $H\to H+\Delta E$ sin ningún impacto en la física. En la mecánica cuántica (imagen de Schrodinger), este cambio de energía tiene que combinarse con una redefinición de la fase de la función de onda, $\psi(t)\to\psi(t) \exp(\Delta E\cdot t / i\hbar )$ , lo que tampoco cambia nada de la física cuántica (porque la fase global de la función de onda no es física).

Un estado propio energético en mecánica cuántica con energía $E$ siempre tiene la función de onda que depende del tiempo como $\exp(Et/i\hbar)$ por definición de la energía, y esta dependencia no puede verse afectada por ningún detalle sobre la distribución interna de la energía dentro del objeto. De forma análoga, para los estados propios del momento y la dependencia de la función de onda de la ubicación del centro de masa del objeto.

Así que si tenemos dos objetos idénticos de masas $m+m$ conectados a un estado límite, su frecuencia de Broglie global será el doble de la frecuencia de uno de ellos (y de forma similar para el número de onda) porque la función de onda es multiplicativa sobre los subsistemas. Pero la onda de Broglie del sistema compuesto no es en absoluto un "patrón [clásico] dibujado en el espaciotiempo" que pueda medirse. La frecuencia y el número de onda de la función de onda se están midiendo mediante las mediciones de energía y momento (son la misma cosa hasta el $\hbar$ ) y no has presentado ningún argumento de que tales mediciones violen inevitablemente el principio de equivalencia. Tal argumento no puede existir porque se puede ver fácilmente que la mecánica cuántica con el $\sum_i m_i\Phi(x,y,z,t)$ El potencial gravitacional añadido en el Hamiltoniano obedece manifiestamente al principio de equivalencia.

Answer 2

Luboš es riguroso. Intentemos algo sencillo: el ascensor inercial de Einstein (vacío duro, por supuesto). La masa no se acelera, su observador se acelera,

http://thinkingscifi.files.wordpress.com/2012/07/loadbinary.gif

¿Qué queda por argumentar? Ahora, ¡la parte divertida! "Dejar caer" dos masas que son diferentes en uno o más aspectos, un poco de pelusa de ganso frente a una bola de bolos de plomo sólida. Sólo el observador está acelerando. El Principio de Equivalencia es imbatible.

Si los árbitros me permiten, soy un empírico, no un teórico. Si no es así, viertan lo que sigue.

El superconjunto de la RG, la gravitación de Einstein-Cartan-Kibble-Sciama, contiene la torsión del espaciotiempo. La torsión del espaciotiempo es quiral, como la fuerza de Lorentz. Zapatos opuestos se incrustan en el vacío quiral (montan un pie izquierdo) con energías diferentes. Caen libremente en el vacío a lo largo de trayectorias de acción mínima no idénticas, exhibiendo una violación del Principio de Equivalencia (PE). Es un truco limpio si funciona. Si no lo hace, la gravitación ECKS pasa por defecto a la RG con curvatura del espaciotiempo solamente.

La quiralidad es una propiedad emergente. Uno desea más bien un montón de muy zapatos pequeños. Una masa de prueba tiene todos los zapatos izquierdos, la otra todos los zapatos derechos. Los zapatos opuestos de la cristalografía son masas de prueba monocristalinas visual y químicamente idénticas en grupos espaciales enantiomórficos: P 3(1)21 vs. P3 (2)21 cuarzo alfa. Es química.

Célula unitaria de cuarzo alfa de 0,113 nm^3 de volumen. 40 gramos netos como dos masas de prueba de un solo cristal de 20 gramos comparan 6,68×10^22 pares de zapatos opuestos (pares de células unitarias enantiomórficas de 9 átomos). El Principio de Equivalencia es a prueba de balas dentro de la física, más o menos.

http://www.physics.indiana.edu/~kostelec/faq.html

Si abrazamos la química, tal vez sólo sea resistente a las balas. Alguien debería buscar (experimento geométrico de Eötvös, o el experimento SR-POEM de Robert Reasenberg).