Una pregunta sobre un límite que debe resolverse considerando las sumas de Riemann.

Question

Esperaba que pudieran ayudarme con un problema difícil de mi examen final. Me dejó perplejo.

Se nos pide que evaluemos:

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}(e^{1/n}+e^{2/n}+e^{3/n}+\cdots+e^{n/n}) $$ Como pista nos dicen que podemos pensar en esto como una suma de Riemann de $[0, 1]$

Entonces pienso que esto se parece mucho a la definición de límites de una integral, así que intenté reescribirla de esta manera:

$$ \int_{0}^{1} e^{1/x} dx $$

Pero entonces no pude resolver el problema ni por asomo. ¡¿Dónde me he equivocado?!

---

EDITAR:

Gracias a todos los que me han ayudado a resolver el problema. Para los que se preguntan, no escribí la integral correcta arriba. Para resolver el problema con éxito debería haberlo hecho:

$$ \int_{0}^{1} e^x dx $$

Es muy doloroso perder el último problema en una final por un margen tan estrecho.

Answer 1

Como los comentaristas señalaron, usted tiene la función mal - es $e^{x}$ ya que la partición de $[0,1]$ es $1/n,2/n,\dots,n/n.$

También puedes resolverlo directamente. Configurar $u=e^{1/n}$ se puede escribir lo anterior:

$$\frac{1}{n}(u+u^2+\cdots +u^n) = \frac{u}{n}\frac{u^n-1}{u-1} = \frac{u(e-1)}{n(u-1)}$$

Pero $n(u-1)=\frac{e^{1/n}-1}{1/n}$ , por lo que como $n\to\infty$ , $n(u-1)$ converge a la derivada de $e^x$ en $x=0$ que es $1$ . Desde $u\to 1$ se obtiene un límite de $e-1$ .

Answer 2

En realidad es $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx.$

La variable $x$ va de $0$ a $1$ . Si lo hace por pasos de tamaño $1/n$ , entonces toma los valores $1/n, 2/n, 3/n,\ldots, n/n.$