¿Por qué puede ' t la prueba de razón de ser utilizado para la serie geométrica?

Question

La prueba de razón se dice que, en $a_k\neq 0$, si $$\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=L$$ existe, entonces, si $0\leq L <1$, $\sum_k a_k$ converge. Si $L>1$, diverge.

Las notas que estoy leyendo dice que es inadmisible el uso de la relación de prueba para la prueba de la convergencia de una serie geométrica. No veo por qué esto debería ser el caso.

Decir que tenemos algunas series geométricas $\sum_kar^k$. Entonces $$\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\lim_{k\to\infty}\frac{\left|ar^{k+1}\right|}{\left|ar^k\right|}=|r|.$$ Así pues, el coeficiente de la prueba nos dice que la serie geométrica converge para $|r|<1$, y diverge para $|r|>1$, que es exactamente lo que se consigue mediante el uso de la fórmula $$\sum_{k=1}^n ar^k=a\left(\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\right).$$

¿Qué es un ejemplo que demuestra por qué la relación de la prueba es inadmisible para una serie geométrica?

Answer 1

La prueba usual de la relación de la prueba es comparar la serie de una serie geométrica. Si $$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \alpha < 1,$$, entonces tenemos $$ |a_{n+1}| < |a_n| \alpha $$ para todos lo suficientemente grande $n$. A continuación, se deduce a partir de una inducción argumento de que $$ |a_{n+k}| < |a_n| \alpha^k $$ para $n$ lo suficientemente grande, lo que significa que $$ \sum_{j=1}^{\infty} |a_j| = \sum_{j=1}^{n-1} |a_j| + \sum_{j=n}^{\infty} |a_j| \le \sum_{j=1}^{n-1} |a_j| + \sum_{k=0}^{\infty} |a_n| \alpha^k.$$ La primera serie tiene sólo un número finito de términos, y es, por tanto, finito, y el segundo de la serie es geométrica y por lo tanto converge por algún otro argumento. De esto se sigue que si $$ \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1, \qquad\text{entonces}\qquad \sum_{j=1}^{\infty} a_j $$ converge (por el límite de la prueba de comparación, por ejemplo). La otra desigualdad en la relación de la prueba puede ser argumentado por señalar que el término general no ir a cero, y la incertidumbre en 1 puede ser argumentado por considerar (por ejemplo), la armónica y la alternancia de serie armónica.

El punto clave es que podemos demostrar que la relación de la prueba implica la convergencia de la serie por comparación con una serie geométrica convergente. Desde la prueba de la relación de la prueba se basa en esta convergencia, que es circular para argumentar que una serie geométrica converge por el coeficiente de prueba (a menos que, por supuesto, usted tiene otra prueba para la prueba de razón de que no se utilice la convergencia de la serie geométrica).

Mientras que uno podría utilizar el ratio de prueba para establecer la convergencia de una serie geométrica (no hay nada que nosotros!), es generalmente pobres estilo a confiar en la circular argumentos como puede potencialmente conducir a vistas importante de hipótesis o casos excepcionales. Esto es particularmente importante en pedagógicamente, cuando los estudiantes no pueden ser totalmente conscientes de la línea de razonamiento que llevan a un resultado (es difícil seguir la pista de todos los lemmata, teoremas y pruebas que conducen a un resultado si es la primera vez que han tenido que lidiar con ellos).

Por otra parte, no veo por qué a uno le desea utilizar la proporción de la prueba para demostrar que una serie geométrica converge. Básicamente no hay cálculo es necesario para demostrar que una serie geométrica converge, mientras que un par de cómputo pasos son necesarios para invocar la prueba de razón.

Answer 2

No podemos saber con seguridad (a menos que el contexto a partir de las notas que he omitido dice algo sobre el tema), pero los diversos comentarios que aparecen en este tema sugieren una explicación.

Dos de las principales actividades de los matemáticos (y la gente que utiliza las matemáticas) participar en:

• El uso de herramientas matemáticas para realizar cálculos y probar cosas
• El diseño y la validación de las herramientas matemáticas utilizadas en la anterior viñeta

La prueba de razón es un ejemplo de una herramienta matemática, y es perfectamente aplicable a la serie geométrica. Incluso puede ser la mejor herramienta para decidir cuando una serie geométrica converge, simplemente, para reducir el número de cosas que uno necesita recordar.

Sin embargo, si usted sucede estar en el proceso de validación de la prueba de razón, no sería válido utilizar la proporción de la prueba para justificar cualquier de los hechos que usted necesita, tales como cuando la serie geométrica converge en su validación. Primero se derivan de los hechos acerca de la serie geométrica de alguna otra forma.

Como para las notas, las explicaciones más probables son:

• Usted está leyendo notas acerca de cómo validar el test del cociente de
• Usted ha malinterpretado las notas
  • Posiblemente debido a que el autor no realmente transmitir su significado
• El autor de estas notas fue confundido

Para detalles sobre ese último punto, la gente a menudo se atascan en la "herramienta de construcción de" mentalidad. Una buena cantidad de la enseñanza de las matemáticas consiste en validar los instrumentos que ya está familiarizado con, que requiere suspender de forma temporal el uso de esas herramientas para que podamos ver cómo se puede ser construido a partir de más herramientas básicas — y a veces la gente aprenda la lección equivocada y pensar que es algo que siempre tenemos que hacer.

Así, cuando los hechos acerca de la convergencia de series geométricas en la prueba de la prueba de razón, esto conduce a veces a las personas se equivocan al pensar que en cualquier momento el tema de la convergencia de la serie geométrica viene, se debe suspender su uso de la prueba de razón y argumentar a partir de más herramientas básicas.

Answer 3

La relación de la prueba es no factible para la serie geométrica. Su hipótesis no excluye la serie geométrica, por lo tanto se aplica, y su prueba debe admitir esta función.

Una forma común de la prueba de estructura sería la siguiente:

Teorema: serie Geométrica converge. Prueba: argumentación directa.

Teorema B: Relación de la prueba con la costumbre de hipótesis. Prueba: mostrar que este es implícita por el teorema de la Una como en la respuesta por Xander Henderson.

Por supuesto, la prueba del Teorema no se puede utilizar el Teorema de B, de lo contrario tenemos un argumento circular. Sin duda, esto es lo que sus notas están tratando de decir.

Sin embargo, una vez que tenemos una prueba válida del Teorema B, ciertamente se aplica a la serie geométrica:

Teorema de C: serie Geométrica converge. Prueba: teorema B.

Esta prueba del Teorema C puede parecer absurdamente indirectos: ¿por qué no acabamos de citar Teorema? Así, considere la posibilidad de:

Teorema D: algún otro teorema, cuya hipótesis implican los de la prueba de razón. Prueba: Teorema B.

Sería muy molesto, y lo que es más importante innecesarios, que en lugar de escribir:

Teorema D: algún otro teorema, cuya hipótesis implican los de la prueba de razón. Prueba: Si la serie es geométrica, a continuación, ver Teorema A. de lo Contrario Teorema de B se aplica.

Answer 4

Una vez que tenemos una válida la prueba de la prueba de razón, entonces puede ser aplicado a cualquier serie si se cumple la hipótesis, incluyendo la serie geométrica. No importa cómo la relación de la prueba fue probada. Esto es en ninguna manera razonamiento circular , incluso si la prueba de utilizar los resultados sobre la serie geométrica. La idea de razonamiento circular es una falacia lógica, pero que es no lo que se está haciendo aquí. Estamos no asumiendo lo que estamos tratando de probar. De hecho, si se nos permite asumir la declaración de $A$ porque nos es dado, entonces la prueba de $A$ es inmediata desde nuestro asunción. Esto no es razonamiento circular porque estamos explícitamente permitido el uso de la declaración de $A$, lo que de alguna manera es dada a nosotros a usar.

El OP dio un enlace a las notas del curso que el estado " no Podemos demostrar que una serie geométrica $\sum r^k$ es convergente/divergente mediante la aplicación de la Prueba de razón. ¿Por qué no?" Ese es un argumento convincente, ¿no? A pesar de la hipótesis de la "D'Alembert la Prueba de razón" está satisfecho por cualquier positiva serie geométrica.