$\cos(\theta_n) \to \cos(\theta)$ y $\sin(\theta_n) \to \sin(\theta)$. ¿Cómo mostrar que $\theta_n \to \theta$?

Question

$\cos(\theta_n) \to \cos(\theta)$ y $\sin(\theta_n) \to \sin(\theta)$ donde $\theta_n$, $\theta \in (-\pi, \pi)$.

¿Cómo mostrar que $\theta_n \to \theta$?

¿Puedo utilizar la continuidad de $\cos^{-1}$ o $\sin^{-1}$ (sólo uno de ellos) para obtener el resultado?

¿Si no es así, entonces cómo proceder?

Editar:

Como sabemos, es el rango de $\arcsin $ $[-\pi/2, \pi/2]$, podemos utilizar continuidad de $\arcsin $ para obtener $\theta_n \to \theta$ cuando pertenece a $[-\pi/2, \pi/2]$, en otros casos utilizar continuidad de $\arccos$.

¿Es correcto este argumento?

Answer 1

Considerar el mapa $f \colon (-\pi,\pi) \rightarrow \mathbb{R}^2$ de $f(\theta) = (\cos(\theta), \sin(\theta))$. Se asigna el intervalo $(-\pi,\pi)$ bijectively en el círculo de la unidad menos el % de punto $(-1,0)$y se puede escribir explícitamente el inverso como

$$ f^{-1}(x,y)= 2 \arctan \left( \frac{y}{1 + x} \right) $$

(véase la entrada sobre atan2 en wikipedia).

De esta expresión, queda claro que $f^{-1}$ es continua y si $f(\theta_n) \to (\cos \theta, \sin \theta)$ y $$f^{-1}(f(\theta_n)) = \theta_n \to f^{-1}(f(\theta)) = \theta. $ $

Answer 2

Supongamos por el contrario que $\theta_{n} $ no tienden a $\theta$. A continuación, hay un $\epsilon>0$ tal que para cualquier entero positivo $n$ no es un número entero positivo $m>n$ tal que $|\theta_{m} - \theta|>\epsilon$. Tenga en cuenta que tomar un pequeño $\epsilon$ no afecta a la verdad de la anterior declaración, por lo que podemos suponer $\epsilon <\pi+|\theta|$ sin pérdida de generalidad.

Entonces podemos ver que $$2-2\cos(\theta_{n}-\theta) =(\cos\theta_{n} - \cos\theta) ^{2}+(\sin\theta_{n} - \sin\theta)^{2}\to 0$$ ie $\cos(|\theta_{n} - \theta|) \a 1$. Now from the last paragraph there are infinitely many values of $n$ for which $0<\epsilon<|\theta_{n} - \theta|<\pi+|\theta |<2\pi$ and thus $\cos(|\theta_{n} - \theta|) $ stays away from $1$ for infinitely many values of $n$ which is contrary to the fact that $\cos(|\theta_{n} - \theta|) \a 1$.

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Para ampliar sobre "queda lejos de la $1$" en el párrafo anterior sólo considere la función $f(x)=1-\cos x$ en el intervalo de $[a, b] \subset (0,2\pi)$. El valor mínimo de $f$ en este intervalo es $\min(f(a), f(b)) >0$ (comprobarlo).

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Su aproximación mediante funciones trigonométricas inversas sólo funcionará si las variables de $\theta_{n}, \theta$ simultáneamente se encuentran en el intervalo de estas funciones inversas. De esta manera no podemos cubrir el intervalo de $(-\pi, \pi)$ de la longitud de la $2\pi$ que se da en la pregunta.

Answer 3

Sugerencia: % Grande $n$, $|e^{i\theta_n}-e^{i\theta} | = |e^{i(\theta_n-\theta)}-1|<\epsilon$, para dado $\epsilon$. Ahora es casi inmediato.

Answer 4

Deje $p(t) = (\cos t, \sin t)$. Si $x \in D= S^1 \setminus \{(-1,0)\}$, entonces no hay una única $t$ $|t| < \pi$ tal que $x= p(t)$ y definimos $\arg x = t$. El objetivo es mostrar que la $\arg$ es continua en a $D$.

Supongamos $x\in D$ es tal que $x_2 \neq 0$ $\theta$ ( $|\theta| < \pi$ ) es tal que $x_2 = \sin \theta$. Desde $\cos' \theta \neq 0$, el teorema de la función inversa muestra que hay algunas barrio de $x_1$ y un continuo (de hecho $C^1$) de la función de $\alpha$ definido en este barrio tal que $\alpha(\cos t) = t$ (esto sólo es válido para $t$ en un barrio de $\theta$). En particular, se ha $\arg x = \alpha(x_1)$, y, por tanto, $\arg$ es continua en a $x \in D$ al $x_2 \neq 0$.

Un argumento similar se aplica para $x \in D$ tal que $x_1 \neq 0$.

Answer 5

Observar que ajusta a cualquier subsequence convergente $\{\theta_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty}$ $\theta_{n_{k}}\rightarrow \theta$ $k\rightarrow \infty$.

Así, como el límite superior y el límite inferior son el mismo, $\theta_{n}\rightarrow \theta$ $n\rightarrow \infty$.