Un límite de participación de $\frac{\pi^2}{6}$

Question

Deje $a_n=1+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{n^2}$. Considerando sabe que $\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{\pi^2}{6}$, evaluar $$\lim_{n\to\infty}n\left( a_n-\frac{\pi^2}{6}\right)$$ Mi intento: me demostró por primera vez que el $b_n=n\left( a_n-\frac{\pi^2}{6}\right)$ es decreciente , es decir,$b_{n+1}-b_n=a_n+\frac{1}{n+1}-\frac{\pi^2}{6} \leq 0$, lo cual es cierto ya que $$\lim_{n\to\infty}\left(a_n+\frac{1}{n+1}\right)=\frac{\pi^2}{6}$$ and $a_n+\frac{1}{n+1}$ es un aumento de la secuencia.

Luego me demostró que $b_n$ está delimitado por $0$ (obviamente) y $-1$, siendo este último el verdadero ya que es equivalente a $a_n+\frac{1}{n}\geq \frac{\pi^2}{6}$, que puede ser probada como el anterior.

Por lo $b_n$ es tanto decreciente y acotada, lo que significa que tiene un límite de $l$, y terminó con Stolz-Cesaro: $$l=\lim_{n\to\infty}n\left( a_n-\frac{\pi^2}{6}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2\left( a_n-\frac{\pi^2}{6}\right)}{n}=\lim_{n\to\infty}\left( (n+1)^2\left( a_{n+1}-\frac{\pi^2}{6}\right) -n^2\left( a_n-\frac{\pi^2}{6}\right)\right)=\lim_{n\to\infty}\left( \frac{n^2}{(n+1)^2}+a_{n+1}-\frac{\pi^2}{6}+2n\left( a_{n+1}-\frac{\pi^2}{6}\right)\right)=1+0+2l$$ so $l=-1$.

¿Alguien puede proporcionar una solución más corto, si es que la hay, por favor?

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\frac{\pi^2}6-a_n=\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{k^2}$$

Y

$$\frac1{n+1}=\int_{n+1}^\infty\frac1{x^2}~dx<\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{k^2}<\int_n^\infty\frac1{x^2}~dx=\frac1n$$

Por lo tanto, por el teorema del apretón, el límite es de $-1$.

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Si uno desea evitar integrales, telescópico creativo puede emplearse:

$$\frac1k-\frac1{k+1}=\frac1{k(k+1)}<\frac1{k^2}<\frac1{(k-1)k}=\frac1{k-1}-\frac1k$$

Os dejo el proceso telescópico para el lector. $\ddot\smile$

Answer 2

Te puede gusta esto. Por El teorema de Stolz-Cesaro, uno tiene\begin{eqnarray} &&\lim_{n\to\infty}n\left( a_n-\frac{\pi^2}{6}\right)\\ &=&\lim_{n\to\infty}\frac{ a_n-\frac{\pi^2}{6}}{\frac1n}\\ &=&\lim_{n\to\infty}\frac{(a_{n+1}-\frac{\pi^2}{6})- (a_n-\frac{\pi^2}{6})}{\frac1{n+1}-\frac1n}\\ &=&\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{-\frac1{n(n+1)}}\\ &=&\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{(n+1)^2}}{-\frac1{n(n+1)}}\\ &=&-1. \end{eqnarray}