No sé cómo solucionar este problema. ¿Cómo probar $$\sum_{n=0}^{\infty}\sin(e\pi n!)$ $ converge?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Edit. He eliminado el uso de la notación asintótica (para aquellos que no están familiarizados con este) y el tratado de ser muy específico. Espero que esto polvos todas las sospechas.
Utilizando el hecho de que $e$ admite la expansión de la $ e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ $n \geq 2$ vamos a escribir
$$ n!e = \underbrace{\sum_{k=0}^{n-2} \frac{n!}{k!}}_{=: b_n} + n + 1 + \underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)\cdots (n+k)}}_{=: c_n}. $$
Ahora note que
En cada término de $b_n$,$\frac{n!}{k!} = n(n-1)\cdots(k+1)$. Desde cualquiera de las $n$ o $n-1$ es siempre igual, se sigue que $\frac{n!}{k!}$ siempre es un número entero. Lo mismo es cierto para la suma total $b_n$.
La secuencia de $(c_n)$ es monótona decreciente y tiende a $0$. De hecho,
$$ c_{n+1} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)\cdots(n+k+1)} \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)\cdots(n+k)} = c_n $$
y
$$ 0 \leq c_n \leq \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^j} = \frac{1}{n}. $$
La combinación de todos los esfuerzos, nos encontramos con que
$$ \bbox[border:2px dashed green,10px]{ \sin(e\pi n!) = (-1)^{n+1}\sin(\pi c_n)} $$
Pero ya sabemos que $0 \leq \pi c_n \leq \frac{\pi}{2}$ $n \geq 2$ y la función seno es cada vez mayor en $[0, \frac{\pi}{2}]$, la secuencia de $(\sin(\pi c_n))_{n\geq 2}$ también es monótona decreciente y tiende a $0$. Por lo tanto, por la alternancia de la serie de la prueba, la serie en cuestión converge.
